Matematica di base Esempi

$y^{3} = \frac{125}{1000}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{125}{1000}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} - \frac{125}{1000} = 0$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $125$ e $1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $125$ da $125$ .

$y^{3} - \frac{125 (1)}{1000} = 0$

Passaggio 2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $125$ da $1000$ .

$y^{3} - \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 8} = 0$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} - \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 8} = 0$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} - \frac{1}{8} = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{8}$ come ${(\frac{1}{2})}^{3}$ .

$y^{3} - {(\frac{1}{2})}^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$(y - \frac{1}{2}) (y^{2} + y (\frac{1}{2}) + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$(y - \frac{1}{2}) (y^{2} + \frac{y}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$(y - \frac{1}{2}) (y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Passaggio 3.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(y - \frac{1}{2}) (y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{2^{2}}) = 0$

Passaggio 3.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(y - \frac{1}{2}) (y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - \frac{1}{2} = 0$

$y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 5

Imposta $y - \frac{1}{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $y - \frac{1}{2}$ uguale a $0$ .

$y - \frac{1}{2} = 0$

Passaggio 5.2

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Imposta $y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4}$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4}$ uguale a $0$ .

$y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4} = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $4$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} + 4 (\frac{y}{2}) + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$4 y^{2} + 2 (2) (\frac{y}{2}) + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 y^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{y}{2})) + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{2} + 2 y + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 y^{2} + 2 y + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.3

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - \frac{1}{2}) (y^{2} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4}) = 0$ vera.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$