Matematica di base Esempi

\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

Passaggio 1

Esegui una moltiplicazione incrociata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ per

$1$ .

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Passaggio 1.2.1.2

Somma

$6^{y}$ e

$6^{y}$ .

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Passaggio 1.2.1.3

Somma

$2 \cdot 6^{y}$ e

$6^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica

$\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Somma

$3^{y}$ e

$3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

Passaggio 1.3.1.2

Somma

$2 \cdot 3^{y}$ e

$3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica

$3$ per

$3^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$1$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Passaggio 1.3.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

Passaggio 1.3.1.4

Sposta

$64$ alla sinistra di

$\sqrt{3^{1 + y}}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ come

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica

${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a

$64 \sqrt{3^{1 + y}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Eleva

$64$ alla potenza di

$2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi

${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ come

$3^{1 + y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3^{1 + y}}$ come

$3^{\frac{1 + y}{2}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.2.3

$\frac{1 + y}{2}$ e

$2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4.2

Dividi

$1 + y$ per

$1$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

Passaggio 4

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Passaggio 4.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi

$\ln (3 \cdot 6^{y})$ come

$\ln (3) + \ln (6^{y})$ .

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Passaggio 4.2.2

Espandi

$\ln (6^{y})$ spostando

$y$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Passaggio 4.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi

$\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ come

$\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

Passaggio 4.3.2

Espandi

$\ln (3^{1 + y})$ spostando

$1 + y$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica

$\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

Passaggio 4.4.1.1.2

Moltiplica

$\ln (3)$ per

$1$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

Passaggio 4.4.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi,

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

Passaggio 4.4.1.3

Moltiplica

$4096$ per

$3$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Passaggio 4.5

Riordina

$\ln (3)$ e

$y \ln (6)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Passaggio 4.6

Riordina

$\ln (12288)$ e

$y \ln (3)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

Passaggio 4.7

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

Passaggio 4.8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

Passaggio 4.9

Elimina il fattore comune di

$3$ e

$12288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Scomponi

$3$ da

$3$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

Passaggio 4.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Scomponi

$3$ da

$12288$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Passaggio 4.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Passaggio 4.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

Passaggio 4.10

Sottrai

$\ln (\frac{1}{4096})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Passaggio 4.11

Scomponi

$y$ da

$y \ln (6) - y \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Scomponi

$y$ da

$y \ln (6)$ .

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Passaggio 4.11.2

Scomponi

$y$ da

$- y \ln (3)$ .

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Passaggio 4.11.3

Scomponi

$y$ da

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ .

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Passaggio 4.12

Riscrivi

$- 1 \ln (3)$ come

$- \ln (3)$ .

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Passaggio 4.13

Dividi per

$\ln (6) - \ln (3)$ ciascun termine in

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Dividi per

$\ln (6) - \ln (3)$ ciascun termine in

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ .

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Passaggio 4.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.1

Elimina il fattore comune di

$\ln (6) - \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Passaggio 4.13.2.1.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Passaggio 4.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Forma decimale:

$y = 12$