Matematica di base Esempi

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{4 y^{2} - 1} = 0$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4 y^{2}$ come ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{{(2 y)}^{2} - 1} = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{{(2 y)}^{2} - 1^{2}} = 0$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y + 1, 2 y - 1, (2 y + 1) (2 y - 1), 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $2 y + 1$ è $2 y + 1$ stesso.

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $2 y - 1$ è $2 y - 1$ stesso.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $2 y + 1$ è $2 y + 1$ stesso.

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $2 y - 1$ è $2 y - 1$ stesso.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $2 y + 1, 2 y - 1, 2 y + 1, 2 y - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(2 y + 1) (2 y - 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(2 y + 1) (2 y - 1)$ ciascun termine in $\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} = 0$ per $(2 y + 1) (2 y - 1)$ .

$\frac{3}{2 y + 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 y + 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (2 y - 1) - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 y) + 3 \cdot - 1 - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 y + 3 \cdot - 1 - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 y - 3 - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{2 y - 1}$ nel numeratore.

$6 y - 3 + \frac{- 2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Scomponi $2 y - 1$ da $(2 y + 1) (2 y - 1)$ .

$6 y - 3 + \frac{- 2}{2 y - 1} ((2 y - 1) (2 y + 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$6 y - 3 + \frac{- 2}{2 y - 1} ((2 y - 1) (2 y + 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$6 y - 3 - 2 (2 y + 1) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 y - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot 1 - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$6 y - 3 - 4 y - 2 \cdot 1 - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$6 y - 3 - 4 y - 2 - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.9

Elimina il fattore comune di $(2 y + 1) (2 y - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$ nel numeratore.

$6 y - 3 - 4 y - 2 + \frac{- (y + 3)}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$6 y - 3 - 4 y - 2 + \frac{- (y + 3)}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$6 y - 3 - 4 y - 2 - (y + 3) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$6 y - 3 - 4 y - 2 - y - 1 \cdot 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 y - 3 - 4 y - 2 - y - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $4 y$ da $6 y$ .

$2 y - 3 - 2 - y - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $y$ da $2 y$ .

$y - 3 - 2 - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$y - 5 - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.2.2.3.2

Sottrai $3$ da $- 5$ .

$y - 8 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $(2 y + 1) (2 y - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = 0 (2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Combina i termini opposti in $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $2 y \cdot - 1$ e $1 (2 y)$ .

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) - 1 \cdot 2 y + 1 \cdot 2 y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Somma $- 1 \cdot 2 y$ e $1 \cdot 2 y$ .

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Somma $2 y (2 y)$ e $0$ .

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y - 8 = 0 (2 \cdot 2 y \cdot y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.2.2.2.1

Sposta $y$ .

$y - 8 = 0 (2 \cdot 2 (y \cdot y) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y - 8 = 0 (2 \cdot 2 y^{2} + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y - 8 = 0 (4 y^{2} + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y - 8 = 0 (4 y^{2} - 1)$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $0$ per $4 y^{2} - 1$ .

$y - 8 = 0$

Passaggio 4

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 8$