Matematica di base Esempi

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} - 5 y - 3}$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 y$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} - 5 (y) - 3}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $1$ più $- 6$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + (1 - 6) y - 3}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + 1 y - 6 y - 3}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + y - 6 y - 3}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y^{2} + y) - 6 y - 3}$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{y (2 y + 1) - 3 (2 y + 1)}$

Passaggio 1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y + 1$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y + 1, y - 3, (2 y + 1) (y - 3)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $2 y + 1$ è $2 y + 1$ stesso.

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $y - 3$ è $y - 3$ stesso.

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $2 y + 1$ è $2 y + 1$ stesso.

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $y - 3$ è $y - 3$ stesso.

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $2 y + 1, y - 3, 2 y + 1, y - 3$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(2 y + 1) (y - 3)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(2 y + 1) (y - 3)$ ciascun termine in $\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$ per $(2 y + 1) (y - 3)$ .

$\frac{4}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 3)) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 y + 1$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 3)) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (y - 3) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 4 \cdot - 3 - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$4 y - 12 - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{y - 3}$ nel numeratore.

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Scomponi $y - 3$ da $(2 y + 1) (y - 3)$ .

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((y - 3) (2 y + 1)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((y - 3) (2 y + 1)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$4 y - 12 - y (2 y + 1) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 y - 12 - y (2 y) - y \cdot 1 = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot 1 = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.8.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.8.1.1

Sposta $y$ .

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.8.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y^{2} - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 y - 12 - 2 y^{2} - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $y$ da $4 y$ .

$3 y - 12 - 2 y^{2} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(2 y + 1) (y - 3)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 y - 12 - 2 y^{2} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y - 12 - 2 y^{2} = - 3 y^{2} + 3 y + 37$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Somma $3 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} = 3 y + 37$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y = 37$

Passaggio 4.1.3

Combina i termini opposti in $3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Sottrai $3 y$ da $3 y$ .

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} + 0 = 37$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2}$ e $0$ .

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} = 37$

Passaggio 4.1.4

Somma $- 2 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$- 12 + y^{2} = 37$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = 37 + 12$

Passaggio 4.2.2

Somma $37$ e $12$ .

$y^{2} = 49$

Passaggio 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{49}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt{49}$ .

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = \pm 7$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = 7$

Passaggio 4.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - 7$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = 7, - 7$