Matematica di base Esempi

$\frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, y + 2, 2$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 1.6

Il fattore di $y - 1$ è $y - 1$ stesso.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $y + 2$ è $y + 2$ stesso.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo di $y - 1, y + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y - 1) (y + 2)$

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$2 (y - 1) (y + 2)$

Passaggio 2

Moltiplica per $2 (y - 1) (y + 2)$ ciascun termine in $\frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{2}$ per $2 (y - 1) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y - 1} (2 (y - 1) (y + 2)) + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (y + 2)) + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.2

$2$ e $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y + 2)) + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y + 2)) + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (y + 2) + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 y + 2 \cdot 2 + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 y + 4 + \frac{1}{y + 2} (2 (y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y + 4 + 2 \frac{1}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.7

$2$ e $\frac{1}{y + 2}$ .

$2 y + 4 + \frac{2}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1

Scomponi $y + 2$ da $(y - 1) (y + 2)$ .

$2 y + 4 + \frac{2}{y + 2} ((y + 2) (y - 1)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$2 y + 4 + \frac{2}{y + 2} ((y + 2) (y - 1)) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y + 4 + 2 (y - 1) = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$2 y + 4 + 2 y + 2 \cdot - 1 = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.1.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 y + 4 + 2 y - 2 = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $2 y$ e $2 y$ .

$4 y + 4 - 2 = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$4 y + 2 = \frac{1}{2} (2 (y - 1) (y + 2))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 (y - 1) (y + 2)$ .

$4 y + 2 = \frac{1}{2} (2 ((y - 1) (y + 2)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 y + 2 = \frac{1}{2} (2 ((y - 1) (y + 2)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 y + 2 = (y - 1) (y + 2)$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(y - 1) (y + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 2 = y (y + 2) - 1 (y + 2)$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 2 = y \cdot y + y \cdot 2 - 1 (y + 2)$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 2 = y \cdot y + y \cdot 2 - 1 y - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 y + 2 = y^{2} + y \cdot 2 - 1 y - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$4 y + 2 = y^{2} + 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.3.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$4 y + 2 = y^{2} + 2 y - y - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 y + 2 = y^{2} + 2 y - y - 2$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $y$ da $2 y$ .

$4 y + 2 = y^{2} + y - 2$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} + y - 2 = 4 y + 2$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + y - 2 - 4 y = 2$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $4 y$ da $y$ .

$y^{2} - 3 y - 2 = 2$

Passaggio 3.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 3 y - 2 - 2 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$y^{2} - 3 y - 4 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $y^{2} - 3 y - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y - 4) (y + 1) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 4 = 0$

$y + 1 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $y - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $y - 4$ uguale a $0$ .

$y - 4 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 4$

Passaggio 3.8

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ .

$y + 1 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 1$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 4) (y + 1) = 0$ vera.

$y = 4, - 1$