Matematica di base Esempi

$\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 10, y, 21$

Passaggio 1.2

Since $y + 10, y, 21$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $y + 10, y, 21$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 21$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $y + 10$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.5

$21$ presenta fattori di $3$ e $7$ .

$3 \cdot 7$

Passaggio 1.6

Moltiplica $3$ per $7$ .

$21$

Passaggio 1.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 1.9

Il fattore di $y + 10$ è $y + 10$ stesso.

$(y + 10) = y + 10$

$(y + 10)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.10

Il minimo comune multiplo di $y + 10$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y + 10$

Passaggio 1.11

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$21 y (y + 10)$

Passaggio 2

Moltiplica per $21 y (y + 10)$ ciascun termine in $\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21}$ per $21 y (y + 10)$ .

$\frac{1}{y + 10} (21 y (y + 10)) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$21 \frac{1}{y + 10} (y (y + 10)) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.2

$21$ e $\frac{1}{y + 10}$ .

$\frac{21}{y + 10} (y (y + 10)) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Scomponi $y + 10$ da $y (y + 10)$ .

$\frac{21}{y + 10} ((y + 10) y) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{21}{y + 10} ((y + 10) y) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$21 y + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$21 y + 21 \frac{1}{y} (y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.5

$21$ e $\frac{1}{y}$ .

$21 y + \frac{21}{y} (y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$21 y + \frac{21}{y} (y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$21 y + 21 (y + 10) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$21 y + 21 y + 21 \cdot 10 = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.1.8

Moltiplica $21$ per $10$ .

$21 y + 21 y + 210 = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.2.2

Somma $21 y$ e $21 y$ .

$42 y + 210 = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $21$ da $21 y (y + 10)$ .

$42 y + 210 = \frac{1}{21} (21 (y (y + 10)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$42 y + 210 = \frac{1}{21} (21 (y (y + 10)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$42 y + 210 = y (y + 10)$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$42 y + 210 = y \cdot y + y \cdot 10$

Passaggio 2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$42 y + 210 = y^{2} + y \cdot 10$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $10$ alla sinistra di $y$ .

$42 y + 210 = y^{2} + 10 y$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} + 10 y = 42 y + 210$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $42 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 10 y - 42 y = 210$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $42 y$ da $10 y$ .

$y^{2} - 32 y = 210$

Passaggio 3.3

Sottrai $210$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 32 y - 210 = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 32$ e $c = - 210$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 210)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 32$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1 \cdot - 210}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 210$ .

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Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 210}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 210$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 + 840}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Somma $1024$ e $840$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1864}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $1864$ come $2^{2} \cdot 466$ .

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Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $1864$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4 (466)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 466}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{32 \pm 2 \sqrt{466}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{32 \pm 2 \sqrt{466}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{32 \pm 2 \sqrt{466}}{2}$ .

$y = 16 \pm \sqrt{466}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 16 + \sqrt{466}, 16 - \sqrt{466}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = 16 + \sqrt{466}, 16 - \sqrt{466}$

Forma decimale:

$y = 37.58703314 \dots, - 5.58703314 \dots$