Matematica di base Esempi

$w^{3} - w^{2} - 2 w = 40$

Passaggio 1

Sottrai $40$ da entrambi i lati dell'equazione.

$w^{3} - w^{2} - 2 w - 40 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Passaggio 2.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$4^{3} - 4^{2} - 2 \cdot 4 - 40$

Passaggio 2.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 4^{2} - 2 \cdot 4 - 40$

Passaggio 2.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - 1 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 40$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$64 - 16 - 2 \cdot 4 - 40$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $16$ da $64$ .

$48 - 2 \cdot 4 - 40$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$48 - 8 - 40$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $8$ da $48$ .

$40 - 40$

Passaggio 2.3.8

Sottrai $40$ da $40$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $w - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{w^{3} - w^{2} - 2 w - 40}{w - 4}$

Passaggio 2.5

Dividi $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ per $w - 4$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$w$

$4$

$w^{3}$

$w^{2}$

$2 w$

$40$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $w^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $w$ .

					$w^{2}$
	$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			+	$w^{3}$	-	$4 w^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $w^{3} - 4 w^{2}$

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 w^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					+	$3 w^{2}$	-	$12 w$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 w^{2} - 12 w$

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 w$ per il termine di ordine più alto nel divisore $w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							+	$10 w$	-	$40$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 w - 40$

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							-	$10 w$	+	$40$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							-	$10 w$	+	$40$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$w^{2} + 3 w + 10$

Passaggio 2.6

Scrivi $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ come insieme di fattori.

$(w - 4) (w^{2} + 3 w + 10) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$w - 4 = 0$

$w^{2} + 3 w + 10 = 0$

Passaggio 4

Imposta $w - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $w$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $w - 4$ uguale a $0$ .

$w - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$w = 4$

Passaggio 5

Imposta $w^{2} + 3 w + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $w$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $w^{2} + 3 w + 10$ uguale a $0$ .

$w^{2} + 3 w + 10 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $w^{2} + 3 w + 10 = 0$ per $w$ .

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Passaggio 5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 10$ nella formula quadratica e risolvi per $w$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sottrai $40$ da $9$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Riscrivi $- 31$ come $- 1 (31)$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (31)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$w = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$w = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$w = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(w - 4) (w^{2} + 3 w + 10) = 0$ vera.

$w = 4, - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$