Matematica di base Esempi

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \div \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} + 3 y - 28}{y^{2 - 9}}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \div \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 2

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ e la cui somma è $b = - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 y$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 (y) + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $- 13$ come $- 1$ più $- 12$ .

$\frac{4 y^{2} + (- 1 - 12) y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 y^{2} - 1 y - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(4 y^{2} - 1 y) - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{y (4 y - 1) - 3 (4 y - 1)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 y - 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 (y) - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $- 5$ come $3$ più $- 8$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (3 - 8) y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 8 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} + 3 y) - 8 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{y (2 y + 3) - 4 (2 y + 3)} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $16 y^{2}$ come ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{{(4 y)}^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{{(4 y)}^{2} - 1^{2}}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 y$ e $b = 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ e la cui somma è $b = 9$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $9$ da $9 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + 9 (y) + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi $9$ come $3$ più $6$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + (3 + 6) y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + 3 y + 6 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y^{2} + 3 y) + 6 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{y (2 y + 3) + 3 (2 y + 3)} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y + 3) (y + 3)} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y + 3) (y + 3)}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)}$ per $\frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y + 3) (y + 3)}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3) ((4 y + 1) (4 y - 1))}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.2

Eleva $4 y - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{1} (4 y - 1) (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.3

Eleva $4 y - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{1} {(4 y - 1)}^{1} (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(4 y - 1)}^{1 + 1} (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.6

Eleva $2 y + 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{1} (2 y + 3) (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.7

Eleva $2 y + 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{1} {(2 y + 3)}^{1} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{1 + 1} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 7.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta $y^{2 - 9}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{1}{(y^{2} + 3 y - 28) y^{- (2 - 9)}}$

Passaggio 8.2

Combina.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1) \cdot 1}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) ((y^{2} + 3 y - 28) y^{- (2 - 9)})}$

Passaggio 8.3

Moltiplica ${(4 y - 1)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) ((y^{2} + 3 y - 28) y^{- (2 - 9)})}$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.1

Scomponi $y^{2} + 3 y - 28$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 28$ e la cui somma è $3$ .

$- 4, 7$

Passaggio 9.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) ((y - 4) (y + 7)) y^{- (2 - 9)}}$

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) (y - 4) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Passaggio 9.2

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 9.2.1

Eleva $y - 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} ({(y - 4)}^{1} (y - 4)) (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $y - 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} ({(y - 4)}^{1} {(y - 4)}^{1}) (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Passaggio 9.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{1 + 1} (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Passaggio 9.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Passaggio 9.3

Sottrai $9$ da $2$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{- - 7}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{7}}$

Passaggio 10

Riordina i fattori in $\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{7}}$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{y^{7} {(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7)}$