Matematica di base Esempi

$(\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}) (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (\frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n})$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}$ per $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{m}{n}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{n}{m}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $n m$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{m}{n}$ per $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{n}{m}$ per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $n m$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 m n \frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Eleva $m$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.5.2

Eleva $m$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 m n \frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.5.5

Riscrivi $n \cdot n$ come $n^{2}$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n^{2}}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.5.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{2 m n \frac{(m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

$2$ e $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ .

$\frac{m n \frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.6.2

$m$ e $\frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}$ .

$\frac{n \frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.6.3

$n$ e $\frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}$ .

$\frac{\frac{n (m (2 ((m + n) (m - n))))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.7

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.8

Riduci l'espressione $\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{(m \cdot 2 (m + n)) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.9

Elimina il fattore comune di $m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.9.2

Dividi $(2 (m + n)) (m - n)$ per $1$ .

$\frac{(2 (m + n)) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.10

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 m + 2 n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.11

Espandi $(2 m + 2 n) (m - n)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 m (m - n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1.1

Moltiplica $m$ per $m$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.12.1.1.1

Sposta $m$ .

$\frac{2 (m \cdot m) + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.1.2

Moltiplica $m$ per $m$ .

$\frac{2 m^{2} + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 m^{2} + 2 \cdot - 1 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n \cdot n}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.5

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1.5.1

Sposta $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 (n \cdot n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.5.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.2

Somma $- 2 m n$ e $2 n m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Sposta $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 m n - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.2.2

Somma $- 2 m n$ e $2 m n$ .

$\frac{2 m^{2} + 0 - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.12.3

Somma $2 m^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.13

Scomponi $2$ da $2 m^{2} - 2 n^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Scomponi $2$ da $2 m^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.13.2

Scomponi $2$ da $- 2 n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.13.3

Scomponi $2$ da $2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})$ .

$\frac{2 (m^{2} - n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 2.14

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{2 (m + n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $m + n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $m + n$ da $2 (m + n) (m - n)$ .

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (m - n)}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $m - n$ e ${(m - n)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $m - n$ da $2 (m - n)$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $m - n$ da ${(m - n)}^{2}$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{m - n} (m^{2} + m n + n^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{2}{m - n}$ per $m^{2} + m n + n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2} + m n + n^{2})}{m - n}$