Matematica di base Esempi

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{m + n}{m - n}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

Passaggio 2

Per scrivere $- \frac{m - n}{m + n}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(m - n) (m + n)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{m + n}{m - n}$ per $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{m - n}{m + n}$ per $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(m - n) (m + n)$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Eleva $m + n$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.2

Eleva $m + n$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.4

Somma $1$ e $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $(m - n) (m - n)$ come ${(m - n)}^{2}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = m + n$ e $b = m - n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Somma $m$ e $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $n$ da $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.3

Somma $2 m$ e $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.5

Moltiplica $- - n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.5.2

Moltiplica $n$ per $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.6

Sottrai $m$ da $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.7

Somma $n$ e $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.8

Somma $n$ e $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 5.7.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ per $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per scrivere $\frac{m}{n}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.2

Per scrivere $- \frac{n}{m}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $n m$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{m}{n}$ per $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{n}{m}$ per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.3.3

Riordina i fattori di $n m$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Eleva $m$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.5.2

Eleva $m$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.5.5

Riscrivi $n \cdot n$ come $n^{2}$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.5.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

$\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ e $4$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.6.2

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ e $m$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.6.3

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ e $n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.7

Riduci l'espressione $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.8

Elimina il fattore comune di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.8.2

Dividi $(m + n) (m - n) \cdot 4$ per $1$ .

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.9

Espandi $(m + n) (m - n)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.10

Combina i termini opposti in $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

Riordina i fattori nei termini di $m (- n)$ e $n m$ .

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.10.2

Somma $- m n$ e $m n$ .

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.10.3

Somma $m \cdot m$ e $0$ .

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Moltiplica $m$ per $m$ .

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.11.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.11.3

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.3.1

Sposta $n$ .

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.11.3.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.12

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.13

Sposta $4$ alla sinistra di $m^{2}$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.14

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.15

Scomponi $4$ da $4 m^{2} - 4 n^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.1

Scomponi $4$ da $4 m^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.15.2

Scomponi $4$ da $- 4 n^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.15.3

Scomponi $4$ da $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ .

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 7.16

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $m + n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $m - n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $4$ per $1$ .

$4$