Matematica di base Esempi

$\frac{3 y^{2}}{y^{2} - 4} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{y^{2} - 2^{2}} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(y + 2) (y - 2), y - 2, y + 2$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $y + 2$ è $y + 2$ stesso.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $y - 2$ è $y - 2$ stesso.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $y + 2$ è $y + 2$ stesso.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $y + 2, y - 2, y - 2, y + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y + 2) (y - 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(y + 2) (y - 2)$ ciascun termine in $\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$ per $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} ((y + 2) (y - 2)) = \frac{3}{y - 2} ((y + 2) (y - 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $(y + 2) (y - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} ((y + 2) (y - 2)) = \frac{3}{y - 2} ((y + 2) (y - 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} = \frac{3}{y - 2} ((y + 2) (y - 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

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Passaggio 3.3.1.1.1

Scomponi $y - 2$ da $(y + 2) (y - 2)$ .

$3 y^{2} = \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} = \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} = 3 (y + 2) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} = 3 y + 3 \cdot 2 + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

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Passaggio 3.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} = 3 y + 6 + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y (y - 2)$

Passaggio 3.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y \cdot y + 4 y \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.6.1

Sposta $y$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 (y \cdot y) + 4 y \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y^{2} + 4 y \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.7

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y^{2} - 8 y$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $8 y$ da $3 y$ .

$3 y^{2} = - 5 y + 6 + 4 y^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 5 y + 6 + 4 y^{2} = 3 y^{2}$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y + 6 + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3 y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$- 5 y + 6 + y^{2} = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $- 5 y + 6 + y^{2}$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y - 3) (y - 2) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 3 = 0$

$y - 2 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $y - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $y - 3$ uguale a $0$ .

$y - 3 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3$

Passaggio 4.6

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 3) (y - 2) = 0$ vera.

$y = 3, 2$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{3 y^{2}}{y^{2} - 4} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$ vera.

$y = 3$