Matematica di base Esempi

$\frac{2}{y + 8} + \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 8, y - 2, 3$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 3$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 1.6

Il fattore di $y + 8$ è $y + 8$ stesso.

$(y + 8) = y + 8$

$(y + 8)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $y - 2$ è $y - 2$ stesso.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo di $y + 8, y - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y + 8) (y - 2)$

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$3 (y + 8) (y - 2)$

Passaggio 2

Moltiplica per $3 (y + 8) (y - 2)$ ciascun termine in $\frac{2}{y + 8} + \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{y + 8} + \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3}$ per $3 (y + 8) (y - 2)$ .

$\frac{2}{y + 8} (3 (y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{2}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3 \frac{2}{y + 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

$3$ e $\frac{2}{y + 8}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$6 (y - 2) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 y + 6 \cdot - 2 + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$6 y - 12 + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 y - 12 + 3 \frac{1}{y - 2} ((y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.7

$3$ e $\frac{1}{y - 2}$ .

$6 y - 12 + \frac{3}{y - 2} ((y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

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Passaggio 2.2.1.8.1

Scomponi $y - 2$ da $(y + 8) (y - 2)$ .

$6 y - 12 + \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 8)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$6 y - 12 + \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 8)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$6 y - 12 + 3 (y + 8) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$6 y - 12 + 3 y + 3 \cdot 8 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.1.10

Moltiplica $3$ per $8$ .

$6 y - 12 + 3 y + 24 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.2.2.1

Somma $6 y$ e $3 y$ .

$9 y - 12 + 24 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $- 12$ e $24$ .

$9 y + 12 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 (y + 8) (y - 2)$ .

$9 y + 12 = \frac{1}{3} (3 ((y + 8) (y - 2)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$9 y + 12 = \frac{1}{3} (3 ((y + 8) (y - 2)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$9 y + 12 = (y + 8) (y - 2)$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(y + 8) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 y + 12 = y (y - 2) + 8 (y - 2)$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 y + 12 = y \cdot y + y \cdot - 2 + 8 (y - 2)$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 y + 12 = y \cdot y + y \cdot - 2 + 8 y + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$9 y + 12 = y^{2} + y \cdot - 2 + 8 y + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$9 y + 12 = y^{2} - 2 \cdot y + 8 y + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$9 y + 12 = y^{2} - 2 y + 8 y - 16$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $- 2 y$ e $8 y$ .

$9 y + 12 = y^{2} + 6 y - 16$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} + 6 y - 16 = 9 y + 12$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $9 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 6 y - 16 - 9 y = 12$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $9 y$ da $6 y$ .

$y^{2} - 3 y - 16 = 12$

Passaggio 3.3

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 3 y - 16 - 12 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $12$ da $- 16$ .

$y^{2} - 3 y - 28 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $y^{2} - 3 y - 28$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 28$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 7, 4$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y - 7) (y + 4) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 7 = 0$

$y + 4 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $y - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $y - 7$ uguale a $0$ .

$y - 7 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 7$

Passaggio 3.8

Imposta $y + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.8.1

Imposta $y + 4$ uguale a $0$ .

$y + 4 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 4$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 7) (y + 4) = 0$ vera.

$y = 7, - 4$