Matematica di base Esempi

$\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, y, 8$

Passaggio 1.2

Since $y - 1, y, 8$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $y - 1, y, 8$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 8$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $y - 1$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.5

I fattori primi per $8$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 4$

Passaggio 1.5.2

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8$

Passaggio 1.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 1.9

Il fattore di $y - 1$ è $y - 1$ stesso.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.10

Il minimo comune multiplo di $y - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y - 1$

Passaggio 1.11

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$8 y (y - 1)$

Passaggio 2

Moltiplica per $8 y (y - 1)$ ciascun termine in $\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$ per $8 y (y - 1)$ .

$\frac{7}{y - 1} (8 y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 \frac{7}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $8 \frac{7}{y - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

$8$ e $\frac{7}{y - 1}$ .

$\frac{8 \cdot 7}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $8$ per $7$ .

$\frac{56}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Scomponi $y - 1$ da $y (y - 1)$ .

$\frac{56}{y - 1} ((y - 1) y) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{56}{y - 1} ((y - 1) y) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$56 y + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$56 y + 8 \frac{1}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.5

$8$ e $\frac{1}{y}$ .

$56 y + \frac{8}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$56 y + \frac{8}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$56 y + 8 (y - 1) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$56 y + 8 y + 8 \cdot - 1 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.1.8

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$56 y + 8 y - 8 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.2.2

Somma $56 y$ e $8 y$ .

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Scomponi $8$ da $8 y (y - 1)$ .

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 (y (y - 1)))$

Passaggio 2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 (y (y - 1)))$

Passaggio 2.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$64 y - 8 = 9 (y (y - 1))$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$64 y - 8 = 9 (y \cdot y + y \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} + y \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} - 1 \cdot y)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} - y)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$64 y - 8 = 9 y^{2} + 9 (- y)$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$64 y - 8 = 9 y^{2} - 9 y$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 y^{2} - 9 y = 64 y - 8$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $64 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 9 y - 64 y = - 8$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $64 y$ da $- 9 y$ .

$9 y^{2} - 73 y = - 8$

Passaggio 3.3

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 73 y + 8 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 8 = 72$ e la cui somma è $b = - 73$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $- 73$ da $- 73 y$ .

$9 y^{2} - 73 y + 8 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi $- 73$ come $- 1$ più $- 72$ .

$9 y^{2} + (- 1 - 72) y + 8 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 y^{2} - 1 y - 72 y + 8 = 0$

Passaggio 3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 y^{2} - 1 y) - 72 y + 8 = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y (9 y - 1) - 8 (9 y - 1) = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 y - 1$ .

$(9 y - 1) (y - 8) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 y - 1 = 0$

$y - 8 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $9 y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $9 y - 1$ uguale a $0$ .

$9 y - 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $9 y - 1 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y = 1$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = 1$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.7

Imposta $y - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $y - 8$ uguale a $0$ .

$y - 8 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 8$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 y - 1) (y - 8) = 0$ vera.

$y = \frac{1}{9}, 8$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \frac{1}{9}, 8$

Forma decimale:

$y = 0.\overline{1}, 8$