Matematica di base Esempi

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 y + 1}$ come ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ come $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ .

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{7 y}$ alla potenza di $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.3

Eleva $\sqrt{7 y}$ alla potenza di $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{7 y}}^{2}$ come $7 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 y}$ come ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.5

Semplifica.

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $7$ per $4$ .

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $2 \sqrt{7 y}$ da $- 2 \sqrt{7 y}$ .

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $- 4 \sqrt{7 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ .

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $- 4 \sqrt{7 y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $28 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

Passaggio 3.2.3

Combina i termini opposti in $16 y + 1 - 28 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $16 y - 28 y$ e $0$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $28 y$ da $16 y$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 y}$ come ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 y$ .

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Calcola l'esponente.

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $16$ per $7$ .

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.8

Semplifica.

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(- 12 y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 12 y$ .

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$112 y = 144 y^{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $144 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$112 y - 144 y^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$112 u - 144 u^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $16 u$ da $112 u - 144 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $16 u$ da $112 u$ .

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Scomponi $16 u$ da $- 144 u^{2}$ .

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

Passaggio 6.2.2.3

Scomponi $16 u$ da $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ .

$16 u (7 - 9 u) = 0$

Passaggio 6.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$16 y (7 - 9 y) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $7 - 9 y$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $7 - 9 y$ uguale a $0$ .

$7 - 9 y = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $7 - 9 y = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 y = - 7$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 y = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 y = - 7$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 6.5.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{7}{9}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 y (7 - 9 y) = 0$ vera.

$y = 0, \frac{7}{9}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ vera.

$y = \frac{7}{9}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \frac{7}{9}$

Forma decimale:

$y = 0.\overline{7}$