Matematica di base Esempi

$\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} = 3$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{12}{v^{2} - 4^{2}} - \frac{24}{v - 4} = 3$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = v$ e $b = 4$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} = 3$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(v + 4) (v - 4), v - 4, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $v + 4$ è $v + 4$ stesso.

$(v + 4) = v + 4$

$(v + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $v - 4$ è $v - 4$ stesso.

$(v - 4) = v - 4$

$(v - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $v + 4, v - 4, v - 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(v + 4) (v - 4)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(v + 4) (v - 4)$ ciascun termine in $\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} = 3$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} = 3$ per $(v + 4) (v - 4)$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} ((v + 4) (v - 4)) - \frac{24}{v - 4} ((v + 4) (v - 4)) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(v + 4) (v - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} ((v + 4) (v - 4)) - \frac{24}{v - 4} ((v + 4) (v - 4)) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$12 - \frac{24}{v - 4} ((v + 4) (v - 4)) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $v - 4$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{24}{v - 4}$ nel numeratore.

$12 + \frac{- 24}{v - 4} ((v + 4) (v - 4)) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $v - 4$ da $(v + 4) (v - 4)$ .

$12 + \frac{- 24}{v - 4} ((v - 4) (v + 4)) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$12 + \frac{- 24}{v - 4} ((v - 4) (v + 4)) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$12 - 24 (v + 4) = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 - 24 v - 24 \cdot 4 = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$12 - 24 v - 96 = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $96$ da $12$ .

$- 24 v - 84 = 3 ((v + 4) (v - 4))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $(v + 4) (v - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 24 v - 84 = 3 (v (v - 4) + 4 (v - 4))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 24 v - 84 = 3 (v \cdot v + v \cdot - 4 + 4 (v - 4))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 24 v - 84 = 3 (v \cdot v + v \cdot - 4 + 4 v + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.2.1

Combina i termini opposti in $v \cdot v + v \cdot - 4 + 4 v + 4 \cdot - 4$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $v \cdot - 4$ e $4 v$ .

$- 24 v - 84 = 3 (v \cdot v - 4 v + 4 v + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Somma $- 4 v$ e $4 v$ .

$- 24 v - 84 = 3 (v \cdot v + 0 + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Somma $v \cdot v$ e $0$ .

$- 24 v - 84 = 3 (v \cdot v + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$- 24 v - 84 = 3 (v^{2} + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$- 24 v - 84 = 3 (v^{2} - 16)$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 3.3.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 24 v - 84 = 3 v^{2} + 3 \cdot - 16$

Passaggio 3.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$- 24 v - 84 = 3 v^{2} - 48$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $3 v^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 24 v - 84 - 3 v^{2} = - 48$

Passaggio 4.2

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 24 v - 84 - 3 v^{2} + 48 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $- 84$ e $48$ .

$- 24 v - 3 v^{2} - 36 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $- 3$ da $- 24 v - 3 v^{2} - 36$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Riordina $- 24 v$ e $- 3 v^{2}$ .

$- 3 v^{2} - 24 v - 36 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $- 3$ da $- 3 v^{2}$ .

$- 3 v^{2} - 24 v - 36 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi $- 3$ da $- 24 v$ .

$- 3 v^{2} - 3 (8 v) - 36 = 0$

Passaggio 4.4.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 36$ .

$- 3 v^{2} - 3 (8 v) - 3 \cdot 12 = 0$

Passaggio 4.4.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (v^{2}) - 3 (8 v)$ .

$- 3 (v^{2} + 8 v) - 3 \cdot 12 = 0$

Passaggio 4.4.1.6

Scomponi $- 3$ da $- 3 (v^{2} + 8 v) - 3 (12)$ .

$- 3 (v^{2} + 8 v + 12) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $v^{2} + 8 v + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $8$ .

$2, 6$

Passaggio 4.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 3 ((v + 2) (v + 6)) = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (v + 2) (v + 6) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$v + 2 = 0$

$v + 6 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $v + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $v$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $v + 2$ uguale a $0$ .

$v + 2 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v = - 2$

Passaggio 4.7

Imposta $v + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $v$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $v + 6$ uguale a $0$ .

$v + 6 = 0$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v = - 6$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 (v + 2) (v + 6) = 0$ vera.

$v = - 2, - 6$