Matematica di base Esempi

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica $- \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(y - 9)}^{2}$ come $(y - 9) (y - 9)$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot ((y - 9) (y - 9))$

Passaggio 1.2

Espandi $(y - 9) (y - 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y (y - 9) - 9 (y - 9))$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 (y - 9))$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 \cdot y - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 y - 9 y + 81)$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $9 y$ da $- 9 y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 18 y + 81)$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{3} y^{2} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

$y^{2}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $3$ da $- 18 y$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - 2 (- 6 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - \frac{2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot 81$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $3$ da $81$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (27))$

Passaggio 1.5.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 27)$

Passaggio 1.5.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 2 \cdot 27$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $- 2$ per $27$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 54$

Passaggio 1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$y = - \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54$

Passaggio 2

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 = y$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 - y = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $y$ da $12 y$ .

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 11 y - 54 = 0$

Passaggio 4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $3$ , quindi semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- \frac{2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 y^{2}}{3}$ nel numeratore.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 y^{2} + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $11$ per $3$ .

$- 2 y^{2} + 33 y + 3 \cdot - 54 = 0$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $3$ per $- 54$ .

$- 2 y^{2} + 33 y - 162 = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = - 2$ , $b = 33$ e $c = - 162$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 162)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Eleva $33$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 4 \cdot - 2 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot - 162$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 + 8 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $8$ per $- 162$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 1296}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $1296$ da $1089$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $- 207$ come $- 1 (207)$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (207)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.7

Riscrivi $207$ come $3^{2} \cdot 23$ .

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Passaggio 7.1.7.1

Scomponi $9$ da $207$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$ .

$y = \frac{33 \pm 3 i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{33 + 3 i \sqrt{23}}{4}, \frac{33 - 3 i \sqrt{23}}{4}$