Matematica di base Esempi

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica $0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 + 0 + 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ come $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 ((y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.3

Espandi $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y (y - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.4.1.2

$y$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.4.1.3

$y$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Passaggio 1.4.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Passaggio 1.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3})$

Passaggio 1.4.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 1.4.1.4.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Passaggio 1.4.1.4.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Passaggio 1.4.2

Sottrai $\frac{y}{3}$ da $- \frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - 2 \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1

$- 2$ e $\frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Passaggio 1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $0$ per $y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 2$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 84}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $84$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $- 80$ come $- 1 (80)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (80)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $80$ come $4^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 i \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{1 + 2 i \sqrt{5}}{3}, \frac{1 - 2 i \sqrt{5}}{3}$