Matematica di base Esempi

$3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{y^{2} - 3 y + 6} = 3 y - 4$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ come ${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{1} = {(3 y - 4)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$y^{2} - 3 y + 6 = {(3 y - 4)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(3 y - 4)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(3 y - 4)}^{2}$ come $(3 y - 4) (3 y - 4)$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = (3 y - 4) (3 y - 4)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(3 y - 4) (3 y - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y - 4) - 4 (3 y - 4)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y - 4)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y - 4 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y + 16$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $12 y$ da $- 12 y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 24 y + 16$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $9 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} = - 24 y + 16$

Passaggio 4.1.2

Somma $24 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} + 24 y = 16$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $9 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} - 3 y + 6 + 24 y = 16$

Passaggio 4.1.4

Somma $- 3 y$ e $24 y$ .

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 = 16$

Passaggio 4.2

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 - 16 = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $16$ da $6$ .

$- 8 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 y^{2} + 21 y - 10$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $21 y$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Riscrivi $- 10$ come $- 1 (10)$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Passaggio 4.4.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (8 y^{2}) - (- 21 y)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Passaggio 4.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (8 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.4.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 8 \cdot 10 = 80$ e la cui somma è $b = - 21$ .

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Passaggio 4.4.2.1.1.1

Scomponi $- 21$ da $- 21 y$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Riscrivi $- 21$ come $- 5$ più $- 16$ .

$- (8 y^{2} + (- 5 - 16) y + 10) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (8 y^{2} - 5 y - 16 y + 10) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.4.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((8 y^{2} - 5 y) - 16 y + 10) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (y (8 y - 5) - 2 (8 y - 5)) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $8 y - 5$ .

$- ((8 y - 5) (y - 2)) = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (8 y - 5) (y - 2) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$8 y - 5 = 0$

$y - 2 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $8 y - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $8 y - 5$ uguale a $0$ .

$8 y - 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $8 y - 5 = 0$ per $y$ .

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Passaggio 4.6.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 y = 5$

Passaggio 4.6.2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = 5$ e semplifica.

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Passaggio 4.6.2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = 5$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Passaggio 4.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 4.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Passaggio 4.6.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5}{8}$

Passaggio 4.7

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

Passaggio 4.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (8 y - 5) (y - 2) = 0$ vera.

$y = \frac{5}{8}, 2$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ vera.

$y = 2$