Matematica di base Esempi

$z^{- 4} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 \frac{1}{z^{2}} - 4 = 0$

Passaggio 1.3

$- 3$ e $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} + \frac{- 3}{z^{2}} - 4 = 0$

Passaggio 1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$z^{4}, z^{2}, 1, 1$

Passaggio 2.2

Since $z^{4}, z^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $z^{4}, z^{2}$ .

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

I fattori di $z^{4}$ sono $z \cdot z \cdot z \cdot z$ , che corrisponde a $z$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$z^{4} = z \cdot z \cdot z \cdot z$

$z$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 2.7

I fattori di $z^{2}$ sono $z \cdot z$ , che corrisponde a $z$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$z^{2} = z \cdot z$

$z$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $z^{4}, z^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$z \cdot z \cdot z \cdot z$

Passaggio 2.9

Semplifica $z \cdot z \cdot z \cdot z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $z$ per $z$ .

$z^{2} \cdot z \cdot z$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $z^{2}$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Moltiplica $z^{2}$ per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$z^{2} \cdot z^{1} \cdot z$

Passaggio 2.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z^{2 + 1} \cdot z$

Passaggio 2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$z^{3} \cdot z$

Passaggio 2.9.3

Moltiplica $z^{3}$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Moltiplica $z^{3}$ per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$z^{3} \cdot z^{1}$

Passaggio 2.9.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z^{3 + 1}$

Passaggio 2.9.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$z^{4}$

Passaggio 3

Moltiplica per $z^{4}$ ciascun termine in $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ per $z^{4}$ .

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $z^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $z^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{z^{2}}$ nel numeratore.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $z^{2}$ da $z^{4}$ .

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $0$ per $z^{4}$ .

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $u = z^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = z^{2}$

Passaggio 4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 u^{2} - 3 u + 1$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 3 u + 1 = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 u$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) + 1 = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (4 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 u^{2} + 3 u) - 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Passaggio 4.2.2

Scomponi.

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$- (4 u^{2} + 3 (u) - 1) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1$ più $4$ .

$- (4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1)) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (u + 1)) = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (4 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $4 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $4 u - 1$ uguale a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $4 u - 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 u = 1$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 1$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.5

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (4 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Passaggio 4.7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = z^{2}$ nell'equazione risolta.

$z^{2} = \frac{1}{4}$

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Passaggio 4.8

Risolvi la prima equazione per $z$ .

$z^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.9

Risolvi l'equazione per $z$ .

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Passaggio 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.9.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 4.9.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.9.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.9.2.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.9.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 4.9.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$z = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.10

Risolvi la seconda equazione per $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Passaggio 4.11

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Rimuovi le parentesi.

$z^{2} = - 1$

Passaggio 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 4.11.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$z = \pm i$

Passaggio 4.11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = i$

Passaggio 4.11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - i$

Passaggio 4.11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = i, - i$

Passaggio 4.12

La soluzione di $- 4 z^{4} - 3 z^{2} + 1 = 0$ è $z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$