Matematica di base Esempi

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa il teorema binomiale.

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Passaggio 1.3

Usa il teorema binomiale.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.7

Applica la regola del prodotto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.9

Moltiplica $z^{2}$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.11

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.12

Applica la regola del prodotto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.14

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.15

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.16

Applica la regola del prodotto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.17

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.18

Moltiplica $z^{4}$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.19

Applica la regola del prodotto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

Passaggio 1.4.20

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Passaggio 1.6.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.6.6

Moltiplica $- - z^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

Passaggio 1.6.6.2

Moltiplica $z^{5}$ per $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.8

Somma $5 z$ e $0$ .

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.9

Sottrai $10 z^{2}$ da $10 z^{2}$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.10

Somma $10 z^{3}$ e $0$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.11

Somma $10 z^{3}$ e $10 z^{3}$ .

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Passaggio 1.12

Sottrai $5 z^{4}$ da $5 z^{4}$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

Passaggio 1.13

Somma $20 z^{3}$ e $0$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

Passaggio 1.14

Somma $z^{5}$ e $z^{5}$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

Passaggio 1.15

Somma $5 z$ e $5 z$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

Passaggio 1.16

Riordina i termini.

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Passaggio 1.17

Scomponi $2 z$ da $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Scomponi $2 z$ da $2 z^{5}$ .

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Passaggio 1.17.2

Scomponi $2 z$ da $20 z^{3}$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

Passaggio 1.17.3

Scomponi $2 z$ da $10 z$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Passaggio 1.17.4

Scomponi $2 z$ da $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Passaggio 1.17.5

Scomponi $2 z$ da $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Passaggio 3

Imposta $z$ uguale a $0$ .

$z = 0$

Passaggio 4

Imposta $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ uguale a $0$ .

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $u = z^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 10$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.3

Sottrai $20$ da $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.4

Riscrivi $80$ come $4^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = z^{2}$ nell'equazione risolta.

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Passaggio 4.2.7

Risolvi la prima equazione per $z$ .

$z^{2} = - 0.52786404$

Passaggio 4.2.8

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

Passaggio 4.2.8.2

Semplifica $\pm \sqrt{- 0.52786404}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.1

Riscrivi $- 0.52786404$ come $- 1 (0.52786404)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

Passaggio 4.2.8.2.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

Passaggio 4.2.8.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

Passaggio 4.2.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = i \sqrt{0.52786404}$

Passaggio 4.2.8.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

Passaggio 4.2.8.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

Passaggio 4.2.9

Risolvi la seconda equazione per $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Passaggio 4.2.10

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.1

Rimuovi le parentesi.

$z^{2} = - 9.47213595$

Passaggio 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

Passaggio 4.2.10.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9.47213595}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.3.1

Riscrivi $- 9.47213595$ come $- 1 (9.47213595)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

Passaggio 4.2.10.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

Passaggio 4.2.10.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

Passaggio 4.2.10.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = i \sqrt{9.47213595}$

Passaggio 4.2.10.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

Passaggio 4.2.10.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Passaggio 4.2.11

La soluzione di $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ è $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ .

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ vera.

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$