Matematica di base Esempi

$\frac{28}{z - 2} = 1 + \frac{30}{z + 2}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$z - 2, 1, z + 2$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $z - 2$ è $z - 2$ stesso.

$(z - 2) = z - 2$

$(z - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $z + 2$ è $z + 2$ stesso.

$(z + 2) = z + 2$

$(z + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $z - 2, z + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(z - 2) (z + 2)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(z - 2) (z + 2)$ ciascun termine in $\frac{28}{z - 2} = 1 + \frac{30}{z + 2}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{28}{z - 2} = 1 + \frac{30}{z + 2}$ per $(z - 2) (z + 2)$ .

$\frac{28}{z - 2} ((z - 2) (z + 2)) = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $z - 2$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{28}{z - 2} ((z - 2) (z + 2)) = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$28 (z + 2) = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$28 z + 28 \cdot 2 = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $28$ per $2$ .

$28 z + 56 = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $(z - 2) (z + 2)$ per $1$ .

$28 z + 56 = (z - 2) (z + 2) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(z - 2) (z + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$28 z + 56 = z (z + 2) - 2 (z + 2) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$28 z + 56 = z \cdot z + z \cdot 2 - 2 (z + 2) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$28 z + 56 = z \cdot z + z \cdot 2 - 2 z - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.3

Combina i termini opposti in $z \cdot z + z \cdot 2 - 2 z - 2 \cdot 2$ .

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Passaggio 2.3.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $z \cdot 2$ e $- 2 z$ .

$28 z + 56 = z \cdot z + 2 z - 2 z - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $2 z$ da $2 z$ .

$28 z + 56 = z \cdot z + 0 - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $z \cdot z$ e $0$ .

$28 z + 56 = z \cdot z - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Moltiplica $z$ per $z$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $z + 2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $z + 2$ da $(z - 2) (z + 2)$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + \frac{30}{z + 2} ((z + 2) (z - 2))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + \frac{30}{z + 2} ((z + 2) (z - 2))$

Passaggio 2.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + 30 (z - 2)$

Passaggio 2.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + 30 z + 30 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $30$ per $- 2$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + 30 z - 60$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $60$ da $- 4$ .

$28 z + 56 = z^{2} + 30 z - 64$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $z$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$z^{2} + 30 z - 64 = 28 z + 56$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $z$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $28 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z^{2} + 30 z - 64 - 28 z = 56$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $28 z$ da $30 z$ .

$z^{2} + 2 z - 64 = 56$

Passaggio 3.3

Sottrai $56$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z^{2} + 2 z - 64 - 56 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $56$ da $- 64$ .

$z^{2} + 2 z - 120 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $z^{2} + 2 z - 120$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 120$ e la cui somma è $2$ .

$- 10, 12$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(z - 10) (z + 12) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z - 10 = 0$

$z + 12 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $z - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $z - 10$ uguale a $0$ .

$z - 10 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z = 10$

Passaggio 3.8

Imposta $z + 12$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 3.8.1

Imposta $z + 12$ uguale a $0$ .

$z + 12 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 12$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(z - 10) (z + 12) = 0$ vera.

$z = 10, - 12$