Matematica di base Esempi

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = z^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 5$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $144$ da $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $- 119$ come $- 1 (119)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (119)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 6

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = z^{2}$ nell'equazione risolta.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 7

Risolvi la prima equazione per $z$ .

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

Passaggio 8.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ come $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.4.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.2.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 8.2.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.2.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 8.2.4.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.2.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.2.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.2.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.2.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 8.2.4.7.5

Calcola l'esponente.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 8.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 9

Risolvi la seconda equazione per $z$ .

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 10

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

Passaggio 10.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ come $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 10.3.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.4.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 10.3.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 10.3.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 10.3.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 10.3.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 10.3.4.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10.3.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 10.3.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.3.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.3.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 10.3.4.7.5

Calcola l'esponente.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 10.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 10.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 10.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 11

La soluzione di $4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ è $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ .

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$