Matematica di base Esempi

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = z^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ e la cui somma è $b = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $16$ da $16 u$ .

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $16$ come $- 9$ più $25$ .

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

Passaggio 4

Imposta $5 u - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $5 u - 9$ uguale a $0$ .

$5 u - 9 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $5 u - 9 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 u = 9$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = 9$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

Passaggio 5

Imposta $u + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $u + 5$ uguale a $0$ .

$u + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 5$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ vera.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = z^{2}$ nell'equazione risolta.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $z$ .

$z^{2} = \frac{9}{5}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{9}{5}}$ come $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.2.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.2.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 9.2.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 9.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 9.2.4.6.5

Calcola l'esponente.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$z^{2} = - 5$

Passaggio 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (5)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$z = \pm i \sqrt{5}$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = i \sqrt{5}$

Passaggio 11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - i \sqrt{5}$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Passaggio 12

La soluzione di $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ è $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$