Matematica di base Esempi

$z = \frac{1}{z^{2}}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, z^{2}$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$z^{2}$

Passaggio 2

Moltiplica per $z^{2}$ ciascun termine in $z = \frac{1}{z^{2}}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $z = \frac{1}{z^{2}}$ per $z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $z$ per $z^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $z$ per $z^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$z^{1} z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z^{1 + 2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $z^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$z^{3} = 1$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z^{3} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = z$ e $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $z$ per $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $z - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $z - 1$ uguale a $0$ .

$z - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z = 1$

Passaggio 3.5

Imposta $z^{2} + z + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $z^{2} + z + 1$ uguale a $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $z^{2} + z + 1 = 0$ per $z$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ vera.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$