Matematica di base Esempi

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ .

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

Passaggio 2

Esegui una moltiplicazione incrociata.

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Passaggio 2.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = z$ .

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ come ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Espandi $(4 + z) (4 - z)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.1.5

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.2.1.5.1

Sposta $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma $- 4 z$ e $4 z$ .

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Somma $16$ e $0$ .

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.5

Semplifica.

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.7

Riordina.

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Passaggio 4.2.1.7.1

Sposta $16$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Passaggio 4.2.1.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

Passaggio 5

Risolvi per $z$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $16 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

Passaggio 5.2

Dividi per $- y^{2}$ ciascun termine in $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- y^{2}$ ciascun termine in $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $z^{2}$ per $1$ .

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 16}{- 1}$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

Passaggio 5.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 \cdot - 16$ come $- - 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

Passaggio 5.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

Passaggio 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $16$ da $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $16$ da $- \frac{16}{y^{2}}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $16$ da $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

Passaggio 5.4.2.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(\frac{1}{y})}^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

Passaggio 5.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Passaggio 5.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Passaggio 5.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

Passaggio 5.4.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Passaggio 5.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

Passaggio 5.4.8

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 5.4.8.1

$16$ e $\frac{y + 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

Passaggio 5.4.8.2

Moltiplica $\frac{16 (y + 1)}{y}$ per $\frac{y - 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

Passaggio 5.4.8.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

Passaggio 5.4.8.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

Passaggio 5.4.8.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

Passaggio 5.4.8.6

Somma $1$ e $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

Passaggio 5.4.9

Riscrivi $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ come ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ .

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Passaggio 5.4.9.1

Scomponi la potenza perfetta ${(2^{2})}^{2}$ su $16 (y + 1) (y - 1)$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

Passaggio 5.4.9.2

Scomponi la potenza perfetta $y^{2}$ su $y^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.4.9.3

Riordina la frazione $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

Passaggio 5.4.10

Estrai i termini dal radicale.

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.4.12

$\frac{4}{y}$ e $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Passaggio 5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$