Matematica di base Esempi

$\frac{2}{a - 3} + \frac{5}{a + 4} = 1$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a - 3, a + 4, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $a - 3$ è $a - 3$ stesso.

$(a - 3) = a - 3$

$(a - 3)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $a + 4$ è $a + 4$ stesso.

$(a + 4) = a + 4$

$(a + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $a - 3, a + 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(a - 3) (a + 4)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(a - 3) (a + 4)$ ciascun termine in $\frac{2}{a - 3} + \frac{5}{a + 4} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{a - 3} + \frac{5}{a + 4} = 1$ per $(a - 3) (a + 4)$ .

$\frac{2}{a - 3} ((a - 3) (a + 4)) + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $a - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{a - 3} ((a - 3) (a + 4)) + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (a + 4) + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 a + 2 \cdot 4 + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$2 a + 8 + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $a + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Scomponi $a + 4$ da $(a - 3) (a + 4)$ .

$2 a + 8 + \frac{5}{a + 4} ((a + 4) (a - 3)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 a + 8 + \frac{5}{a + 4} ((a + 4) (a - 3)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 a + 8 + 5 (a - 3) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 a + 8 + 5 a + 5 \cdot - 3 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$2 a + 8 + 5 a - 15 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.2.2.1

Somma $2 a$ e $5 a$ .

$7 a + 8 - 15 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $15$ da $8$ .

$7 a - 7 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $(a - 3) (a + 4)$ per $1$ .

$7 a - 7 = (a - 3) (a + 4)$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(a - 3) (a + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 a - 7 = a (a + 4) - 3 (a + 4)$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 a - 7 = a \cdot a + a \cdot 4 - 3 (a + 4)$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 a - 7 = a \cdot a + a \cdot 4 - 3 a - 3 \cdot 4$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$7 a - 7 = a^{2} + a \cdot 4 - 3 a - 3 \cdot 4$

Passaggio 2.3.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $a$ .

$7 a - 7 = a^{2} + 4 \cdot a - 3 a - 3 \cdot 4$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$7 a - 7 = a^{2} + 4 a - 3 a - 12$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $3 a$ da $4 a$ .

$7 a - 7 = a^{2} + a - 12$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $a$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$a^{2} + a - 12 = 7 a - 7$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $a$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $7 a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} + a - 12 - 7 a = - 7$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $7 a$ da $a$ .

$a^{2} - 6 a - 12 = - 7$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} - 6 a - 12 + 7 = 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $- 12$ e $7$ .

$a^{2} - 6 a - 5 = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Somma $36$ e $20$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $56$ come $2^{2} \cdot 14$ .

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Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $56$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$a = 3 \pm \sqrt{14}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = 3 + \sqrt{14}, 3 - \sqrt{14}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$a = 3 + \sqrt{14}, 3 - \sqrt{14}$

Forma decimale:

$a = 6.74165738 \dots, - 0.74165738 \dots$