Matematica di base Esempi

$\frac{3}{n + 5} - \frac{11}{3 n - 1} = - 1$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$n + 5, 3 n - 1, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $n + 5$ è $n + 5$ stesso.

$(n + 5) = n + 5$

$(n + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $3 n - 1$ è $3 n - 1$ stesso.

$(3 n - 1) = 3 n - 1$

$(3 n - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $n + 5, 3 n - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(n + 5) (3 n - 1)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(n + 5) (3 n - 1)$ ciascun termine in $\frac{3}{n + 5} - \frac{11}{3 n - 1} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3}{n + 5} - \frac{11}{3 n - 1} = - 1$ per $(n + 5) (3 n - 1)$ .

$\frac{3}{n + 5} ((n + 5) (3 n - 1)) - \frac{11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $n + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{n + 5} ((n + 5) (3 n - 1)) - \frac{11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (3 n - 1) - \frac{11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (3 n) + 3 \cdot - 1 - \frac{11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 n + 3 \cdot - 1 - \frac{11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$9 n - 3 - \frac{11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3 n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{3 n - 1}$ nel numeratore.

$9 n - 3 + \frac{- 11}{3 n - 1} ((n + 5) (3 n - 1)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.5.2

Scomponi $3 n - 1$ da $(n + 5) (3 n - 1)$ .

$9 n - 3 + \frac{- 11}{3 n - 1} ((3 n - 1) (n + 5)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$9 n - 3 + \frac{- 11}{3 n - 1} ((3 n - 1) (n + 5)) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$9 n - 3 - 11 (n + 5) = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$9 n - 3 - 11 n - 11 \cdot 5 = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.1.7

Moltiplica $- 11$ per $5$ .

$9 n - 3 - 11 n - 55 = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $11 n$ da $9 n$ .

$- 2 n - 3 - 55 = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $55$ da $- 3$ .

$- 2 n - 58 = - ((n + 5) (3 n - 1))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $(n + 5) (3 n - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 n - 58 = - (n (3 n - 1) + 5 (3 n - 1))$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 n - 58 = - (n (3 n) + n \cdot - 1 + 5 (3 n - 1))$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 n - 58 = - (n (3 n) + n \cdot - 1 + 5 (3 n) + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 n - 58 = - (3 n \cdot n + n \cdot - 1 + 5 (3 n) + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta $n$ .

$- 2 n - 58 = - (3 (n \cdot n) + n \cdot - 1 + 5 (3 n) + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2} + n \cdot - 1 + 5 (3 n) + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $n$ .

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2} - 1 \cdot n + 5 (3 n) + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2.1.4

Riscrivi $- 1 n$ come $- n$ .

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2} - n + 5 (3 n) + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2.1.5

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2} - n + 15 n + 5 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.2.1.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2} - n + 15 n - 5)$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- n$ e $15 n$ .

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2} + 14 n - 5)$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 n - 58 = - (3 n^{2}) - (14 n) - - 5$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 2 n - 58 = - 3 n^{2} - (14 n) - - 5$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$- 2 n - 58 = - 3 n^{2} - 14 n - - 5$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- 2 n - 58 = - 3 n^{2} - 14 n + 5$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $n$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 3 n^{2} - 14 n + 5 = - 2 n - 58$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $n$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Somma $2 n$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 n^{2} - 14 n + 5 + 2 n = - 58$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 14 n$ e $2 n$ .

$- 3 n^{2} - 12 n + 5 = - 58$

Passaggio 3.3

Somma $58$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 n^{2} - 12 n + 5 + 58 = 0$

Passaggio 3.4

Somma $5$ e $58$ .

$- 3 n^{2} - 12 n + 63 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 n^{2} - 12 n + 63$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 n^{2}$ .

$- 3 n^{2} - 12 n + 63 = 0$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $- 3$ da $- 12 n$ .

$- 3 n^{2} - 3 (4 n) + 63 = 0$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $- 3$ da $63$ .

$- 3 n^{2} - 3 (4 n) - 3 \cdot - 21 = 0$

Passaggio 3.5.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (n^{2}) - 3 (4 n)$ .

$- 3 (n^{2} + 4 n) - 3 \cdot - 21 = 0$

Passaggio 3.5.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (n^{2} + 4 n) - 3 (- 21)$ .

$- 3 (n^{2} + 4 n - 21) = 0$

Passaggio 3.5.2

Scomponi.

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $n^{2} + 4 n - 21$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 21$ e la cui somma è $4$ .

$- 3, 7$

Passaggio 3.5.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 3 ((n - 3) (n + 7)) = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (n - 3) (n + 7) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$n - 3 = 0$

$n + 7 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $n - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $n - 3$ uguale a $0$ .

$n - 3 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$n = 3$

Passaggio 3.8

Imposta $n + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

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Passaggio 3.8.1

Imposta $n + 7$ uguale a $0$ .

$n + 7 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$n = - 7$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 (n - 3) (n + 7) = 0$ vera.

$n = 3, - 7$