Matematica di base Esempi

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $k^{2} + 3 k - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = k$ e $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

Passaggio 1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

Passaggio 1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = k$ e $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

Passaggio 1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $k - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $k - 1$ da $(k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Passaggio 1.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $k - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $k - 4$ da $(k + 4) (k - 4)$ .

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $k + 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

Passaggio 1.5.2

Eleva $k + 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

Passaggio 1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

Passaggio 1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$k + 1, 1$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$k + 1, 1$

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$k + 1$

Passaggio 3

Moltiplica per $k + 1$ ciascun termine in $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ per $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $k + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $a$ per $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $k$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $a k$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi ${(k + 4)}^{2}$ come $(k + 4) (k + 4)$ .

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

Passaggio 4.1.2.2

Espandi $(k + 4) (k + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

Passaggio 4.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

Passaggio 4.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Moltiplica $k$ per $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Passaggio 4.1.2.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

Passaggio 4.1.2.3.2

Somma $4 k$ e $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

Passaggio 4.2

Sottrai $a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 8 - a$ e $c = 16 - a$ nella formula quadratica e risolvi per $k$ .

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Moltiplica $- - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3.2

Moltiplica $a$ per $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi ${(8 - a)}^{2}$ come $(8 - a) (8 - a)$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.5

Espandi $(8 - a) (8 - a)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.6.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.5

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.6.1.5.1

Sposta $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.5.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.1.7

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6.2

Sottrai $8 a$ da $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.9

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.10

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.11

Sottrai $64$ da $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.12

Somma $- 16 a$ e $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.13

Somma $- 16 a$ e $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.14

Scomponi $a$ da $a^{2} - 12 a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.14.1

Scomponi $a$ da $a^{2}$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.14.2

Scomponi $a$ da $- 12 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.14.3

Scomponi $a$ da $a \cdot a + a \cdot - 12$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$