Matematica di base Esempi

$\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$m + 1, m - 1, m + 1, m - 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $m + 1$ è $m + 1$ stesso.

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $m - 1$ è $m - 1$ stesso.

$(m - 1) = m - 1$

$(m - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $m + 1$ è $m + 1$ stesso.

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il fattore di $m - 1$ è $m - 1$ stesso.

$(m - 1) = m - 1$

$(m - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo di $m + 1, m - 1, m + 1, m - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(m + 1) (m - 1)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(m + 1) (m - 1)$ ciascun termine in $\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$ per $(m + 1) (m - 1)$ .

$\frac{1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $m + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$m - 1 - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $m - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{m - 1}$ nel numeratore.

$m - 1 + \frac{- 1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Scomponi $m - 1$ da $(m + 1) (m - 1)$ .

$m - 1 + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$m - 1 + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$m - 1 - (m + 1) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$m - 1 - m - 1 \cdot 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$m - 1 - m - 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Combina i termini opposti in $m - 1 - m - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Sottrai $m$ da $m$ .

$0 - 1 - 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1 - 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- 2 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $m + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = (m - 1) (m - 1) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.2

Eleva $m - 1$ alla potenza di $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{1} (m - 1) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.3

Eleva $m - 1$ alla potenza di $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{1} {(m - 1)}^{1} - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 = {(m - 1)}^{1 + 1} - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.6

Elimina il fattore comune di $m - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{m - 1}$ nel numeratore.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} + \frac{- 1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Passaggio 2.3.1.6.2

Scomponi $m - 1$ da $(m + 1) (m - 1)$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{2} + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1))$

Passaggio 2.3.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1))$

Passaggio 2.3.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - (m + 1)$

Passaggio 2.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - m - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - m - 1$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(m - 1)}^{2} - m - 1 = - 2$ .

${(m - 1)}^{2} - m - 1 = - 2$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

${(m - 1)}^{2} - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3

Semplifica ${(m - 1)}^{2} - m - 1 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(m - 1)}^{2}$ come $(m - 1) (m - 1)$ .

$(m - 1) (m - 1) - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(m - 1) (m - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$m (m - 1) - 1 (m - 1) - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 (m - 1) - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $m$ per $m$ .

$m^{2} + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $m$ .

$m^{2} - 1 \cdot m - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 m$ come $- m$ .

$m^{2} - m - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 m$ come $- m$ .

$m^{2} - m - m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$m^{2} - m - m + 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $m$ da $- m$ .

$m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$m^{2} - 2 m - m + 0 + 2 = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $m^{2} - 2 m - m$ e $0$ .

$m^{2} - 2 m - m + 2 = 0$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $m$ da $- 2 m$ .

$m^{2} - 3 m + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $m^{2} - 3 m + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(m - 2) (m - 1) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$m - 2 = 0$

$m - 1 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $m - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $m - 2$ uguale a $0$ .

$m - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m = 2$

Passaggio 3.7

Imposta $m - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $m - 1$ uguale a $0$ .

$m - 1 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m = 1$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(m - 2) (m - 1) = 0$ vera.

$m = 2, 1$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$ vera.

$m = 2$