Matematica di base Esempi

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $k^{\frac{4}{3}}$ come ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $k^{\frac{2}{3}}$ con $u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ e la cui somma è $b = - 65$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $- 65$ da $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 65$ come $- 1$ più $- 64$ .

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Passaggio 3

Imposta $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ uguale a $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

Passaggio 3.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Semplifica ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 k^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.1.1.4

Semplifica.

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 k = \pm 1$

Passaggio 3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$8 k = 1$

Passaggio 3.2.4.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 k = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 k = 1$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Passaggio 3.2.4.2.2.1.2

Dividi $k$ per $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Passaggio 3.2.4.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$8 k = - 1$

Passaggio 3.2.4.4

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 k = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 k = - 1$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 3.2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 3.2.4.4.2.1.2

Dividi $k$ per $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 3.2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$k = - \frac{1}{8}$

Passaggio 3.2.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

Passaggio 4

Imposta $k^{\frac{2}{3}} - 16$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $k^{\frac{2}{3}} - 16$ uguale a $0$ .

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

Passaggio 4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Semplifica ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Semplifica.

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Semplifica $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$k = \pm 4^{3}$

Passaggio 4.2.3.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$k = \pm 64$

Passaggio 4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$k = 64$

Passaggio 4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$k = - 64$

Passaggio 4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$k = 64, - 64$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ vera.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Forma decimale:

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$