Matematica di base Esempi

$\frac{1}{{(3 - 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{27 + 3^{3} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{27 + 27 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $27$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.6

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.7

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.8

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.8.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $9 (4 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.9.2

Moltiplica $9$ per $8$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.10

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.11

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.12

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{3}}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{8}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.14

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.14.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{4 (2)}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.14.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.15

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 (2 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2.16

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.3

Somma $27$ e $72$ .

$\frac{1}{99 - 54 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.4

Sottrai $16 \sqrt{2}$ da $- 54 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ per $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ per $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ .

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{(99 - 70 \sqrt{2}) (99 + 70 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.7

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{9801 + 6930 \sqrt{2} - 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{1} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.9

Dividi $99 + 70 \sqrt{2}$ per $1$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.10

Usa il teorema binomiale.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{3} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 27 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.4

Moltiplica $2$ per $27$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.6

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (2^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.8

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.8.5

Calcola l'esponente.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.9

Moltiplica $9 (4 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.9.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.9.2

Moltiplica $9$ per $8$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 1.11.10

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 2^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Passaggio 1.11.11

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 {\sqrt{2}}^{3}}$

Passaggio 1.11.12

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{3}}}$

Passaggio 1.11.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{8}}$

Passaggio 1.11.14

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.14.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 1.11.14.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.11.15

Estrai i termini dal radicale.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 1.11.16

Moltiplica $2$ per $8$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2}}$

Passaggio 1.12

Somma $27$ e $72$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 54 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2}}$

Passaggio 1.13

Somma $54 \sqrt{2}$ e $16 \sqrt{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$

Passaggio 1.14

Moltiplica $\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ per $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$

Passaggio 1.15

Moltiplica $\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ per $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{(99 + 70 \sqrt{2}) (99 - 70 \sqrt{2})}$

Passaggio 1.16

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{9801 - 6930 \sqrt{2} + 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 1.17

Semplifica.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 1.18

Dividi $99 - 70 \sqrt{2}$ per $1$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + 99 - 70 \sqrt{2}$

Passaggio 2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Somma $99$ e $99$ .

$198 + 70 \sqrt{2} - 70 \sqrt{2}$

Passaggio 2.2

Sottrai $70 \sqrt{2}$ da $70 \sqrt{2}$ .

$198 + 0$

Passaggio 2.3

Somma $198$ e $0$ .

$198$