Matematica di base Esempi

$- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$

Passaggio 1

Scomponi $- 3$ da $- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 {(5 b + 3)}^{3}$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 6 (5 b + 3) + 9$

Passaggio 1.2

Scomponi $- 3$ da $- 6 (5 b + 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) + 9$

Passaggio 1.3

Scomponi $- 3$ da $9$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Passaggio 1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3))$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Passaggio 1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 2

Usa il teorema binomiale.

$- 3 ({(5 b)}^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $5 b$ .

$- 3 (5^{3} b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $5 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (5^{2} b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (25 b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $25$ per $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 75 b^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $75$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.1

Sposta $3^{2}$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2 + 1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{3} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 27 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.9

Moltiplica $5$ per $27$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 3.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b + 3) - 3)$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b) + 2 \cdot 3 - 3)$

Passaggio 5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 2 \cdot 3 - 3)$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 6 - 3)$

Passaggio 7

Somma $135 b$ e $10 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 27 + 6 - 3)$

Passaggio 8

Somma $27$ e $6$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 33 - 3)$

Passaggio 9

Sottrai $3$ da $33$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $5$ da $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ .

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Passaggio 10.1.1.1

Scomponi $5$ da $125 b^{3}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Passaggio 10.1.1.2

Scomponi $5$ da $225 b^{2}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 145 b + 30)$

Passaggio 10.1.1.3

Scomponi $5$ da $145 b$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 30)$

Passaggio 10.1.1.4

Scomponi $5$ da $30$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Passaggio 10.1.1.5

Scomponi $5$ da $5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2})$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Passaggio 10.1.1.6

Scomponi $5$ da $5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6))$

Passaggio 10.1.1.7

Scomponi $5$ da $5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6))$

Passaggio 10.1.2

Scomponi.

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Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 10.1.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Passaggio 10.1.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 6, \pm 0.24, \pm 1.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 3, \pm 0.12, \pm 0.6$

Passaggio 10.1.2.1.3

Sostituisci $- 0.4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 10.1.2.1.3.1

Sostituisci $- 0.4$ nel polinomio.

$25 {(- 0.4)}^{3} + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.2

Eleva $- 0.4$ alla potenza di $3$ .

$25 \cdot - 0.064 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.3

Moltiplica $25$ per $- 0.064$ .

$- 1.6 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.4

Eleva $- 0.4$ alla potenza di $2$ .

$- 1.6 + 45 \cdot 0.16 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.5

Moltiplica $45$ per $0.16$ .

$- 1.6 + 7.2 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.6

Somma $- 1.6$ e $7.2$ .

$5.6 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.7

Moltiplica $29$ per $- 0.4$ .

$5.6 - 11.6 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.8

Sottrai $11.6$ da $5.6$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 10.1.2.1.3.9

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 10.1.2.1.4

Poiché $- 0.4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $5 b + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6}{5 b + 2}$

Passaggio 10.1.2.1.5

Dividi $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ per $5 b + 2$ .

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Passaggio 10.1.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 b$

$2$

$25 b^{3}$

$45 b^{2}$

$29 b$

$6$

Passaggio 10.1.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $25 b^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 b$ .

					$5 b^{2}$
	$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$

Passaggio 10.1.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			+	$25 b^{3}$	+	$10 b^{2}$

Passaggio 10.1.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $25 b^{3} + 10 b^{2}$

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$

Passaggio 10.1.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$

Passaggio 10.1.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Passaggio 10.1.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $35 b^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Passaggio 10.1.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					+	$35 b^{2}$	+	$14 b$

Passaggio 10.1.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $35 b^{2} + 14 b$

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$

Passaggio 10.1.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$

Passaggio 10.1.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Passaggio 10.1.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 b$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Passaggio 10.1.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							+	$15 b$	+	$6$

Passaggio 10.1.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 b + 6$

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$

Passaggio 10.1.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$
										$0$

Passaggio 10.1.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$5 b^{2} + 7 b + 3$

Passaggio 10.1.2.1.6

Scrivi $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ come insieme di fattori.

$- 3 (5 ((5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)))$

Passaggio 10.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 \cdot 5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$

Passaggio 11

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$- 15 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$