Matematica di base Esempi

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ per $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ per $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{16 + 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $4 + \sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.5.2

Eleva $4 + \sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} {(4 + \sqrt{5})}^{1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{2}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi ${(4 + \sqrt{5})}^{2}$ come $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7

Espandi $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.1.4

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.1.5

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 5}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.2

Somma $16$ e $5$ .

$\frac{21 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.8.3

Somma $4 \sqrt{5}$ e $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1.9

Moltiplica $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ per $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

Passaggio 1.10

Moltiplica $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ per $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}$

Passaggio 1.11

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{16 - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.13.1

Eleva $4 - \sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.13.2

Eleva $4 - \sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} {(4 - \sqrt{5})}^{1}}{11}$

Passaggio 1.13.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11}$

Passaggio 1.13.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{2}}{11}$

Passaggio 1.14

Riscrivi ${(4 - \sqrt{5})}^{2}$ come $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.15

Espandi $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 (4 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.15.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.16

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.16.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.16.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Passaggio 1.16.1.4

Moltiplica $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 1.16.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 1.16.1.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 1.16.1.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{11}$

Passaggio 1.16.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{11}$

Passaggio 1.16.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{11}$

Passaggio 1.16.1.5

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 1.16.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11}$

Passaggio 1.16.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11}$

Passaggio 1.16.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Passaggio 1.16.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.16.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Passaggio 1.16.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{1}}{11}$

Passaggio 1.16.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5}{11}$

Passaggio 1.16.2

Somma $16$ e $5$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 1.16.3

Sottrai $4 \sqrt{5}$ da $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5} + 21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 2.2

Somma $21$ e $21$ .

$\frac{42 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{11}$

Passaggio 2.3

Sottrai $8 \sqrt{5}$ da $8 \sqrt{5}$ .

$\frac{42 + 0}{11}$

Passaggio 2.4

Somma $42$ e $0$ .

$\frac{42}{11}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{42}{11}$

Forma decimale:

$3.\overline{81}$

Forma numero misto:

$3 \frac{9}{11}$