Matematica di base Esempi

$\frac{25 y^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \div \frac{5 y^{2} + 9 y - 2}{3 y^{2} + y - 2}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{25 y^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $25 y^{2}$ come ${(5 y)}^{2}$ .

$\frac{{(5 y)}^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(5 y)}^{2} - 1^{2}}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5 y$ e $b = 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 3

Scomponi $3 y$ da $9 y^{2} - 6 y$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $3 y$ da $9 y^{2}$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y) - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 3.2

Scomponi $3 y$ da $- 6 y$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y) + 3 y (- 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 3.3

Scomponi $3 y$ da $3 y (3 y) + 3 y (- 2)$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + 1 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $1$ come $- 2$ più $3$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + (- 2 + 3) y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} - 2 y + 3 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y^{2} - 2 y) + 3 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{y (3 y - 2) + 1 (3 y - 2)}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 y - 2$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Passaggio 5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ e la cui somma è $b = 9$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $9$ da $9 y$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + 9 (y) - 2}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $9$ come $- 1$ più $10$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + (- 1 + 10) y - 2}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} - 1 y + 10 y - 2}$

Passaggio 5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y^{2} - 1 y) + 10 y - 2}$

Passaggio 5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y (5 y - 1) + 2 (5 y - 1)}$

Passaggio 5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 y - 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $5 y - 1$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $5 y - 1$ da $(5 y + 1) (5 y - 1)$ .

$\frac{(5 y - 1) (5 y + 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 y - 1) (5 y + 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 y + 1}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $3 y - 2$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $3 y - 2$ da $3 y (3 y - 2)$ .

$\frac{5 y + 1}{(3 y - 2) (3 y)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y + 1}{(3 y - 2) (3 y)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Passaggio 7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 y + 1}{3 y} \cdot \frac{y + 1}{y + 2}$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{5 y + 1}{3 y}$ per $\frac{y + 1}{y + 2}$ .

$\frac{(5 y + 1) (y + 1)}{3 y (y + 2)}$