Matematica di base Esempi

$(k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40) \div (k + 10)$

Passaggio 1

Scomponi $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 10$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 10$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 10$ nel polinomio.

${(- 10)}^{3} + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 10$ alla potenza di $3$ .

$- 1000 + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$- 1000 + 18 \cdot 100 + 84 \cdot - 10 + 40$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $18$ per $100$ .

$- 1000 + 1800 + 84 \cdot - 10 + 40$

Passaggio 1.3.5

Somma $- 1000$ e $1800$ .

$800 + 84 \cdot - 10 + 40$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $84$ per $- 10$ .

$800 - 840 + 40$

Passaggio 1.3.7

Sottrai $840$ da $800$ .

$- 40 + 40$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 40$ e $40$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 10$ è una radice nota, dividi il polinomio per $k + 10$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40}{k + 10}$

Passaggio 1.5

Dividi $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ per $k + 10$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$k$

$10$

$k^{3}$

$18 k^{2}$

$84 k$

$40$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $k^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $k$ .

					$k^{2}$
	$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			+	$k^{3}$	+	$10 k^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $k^{3} + 10 k^{2}$

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 k^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $k$ .

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					+	$8 k^{2}$	+	$80 k$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 k^{2} + 80 k$

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 k$ per il termine di ordine più alto nel divisore $k$ .

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							+	$4 k$	+	$40$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 k + 40$

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$k^{2} + 8 k + 4$

Passaggio 1.6

Scrivi $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ come insieme di fattori.

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

Passaggio 2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.1

Riduci l'espressione $(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{k^{2} + 8 k + 4}{1}$

Passaggio 2.2

Dividi $k^{2} + 8 k + 4$ per $1$ .

$k^{2} + 8 k + 4$