Matematica di base Esempi

$\frac{1 + 9 i}{5 + 10 i}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore e il denominatore di

$\frac{1 + 9 i}{5 + 10 i}$ per il coniugato di

$5 + 10 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{1 + 9 i}{5 + 10 i} \cdot \frac{5 - 10 i}{5 - 10 i}$

Passaggio 2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Combina.

$\frac{(1 + 9 i) (5 - 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Espandi

$(1 + 9 i) (5 - 10 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (5 - 10 i) + 9 i (5 - 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- 10 i) + 9 i (5 - 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- 10 i) + 9 i \cdot 5 + 9 i (- 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$\frac{5 + 1 (- 10 i) + 9 i \cdot 5 + 9 i (- 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica

$- 10 i$ per

$1$ .

$\frac{5 - 10 i + 9 i \cdot 5 + 9 i (- 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica

$5$ per

$9$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i + 9 i (- 10 i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica

$9 i (- 10 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Moltiplica

$- 10$ per

$9$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i - 90 i i}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Eleva

$i$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i - 90 (i^{1} i)}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.3

Eleva

$i$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i - 90 (i^{1} i^{1})}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 - 10 i + 45 i - 90 i^{1 + 1}}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i - 90 i^{2}}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Riscrivi

$i^{2}$ come

$- 1$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i - 90 \cdot - 1}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.1.6

Moltiplica

$- 90$ per

$- 1$ .

$\frac{5 - 10 i + 45 i + 90}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

$5$ e

$90$ .

$\frac{95 - 10 i + 45 i}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.2.2.3

Somma

$- 10 i$ e

$45 i$ .

$\frac{95 + 35 i}{(5 + 10 i) (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi

$(5 + 10 i) (5 - 10 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{95 + 35 i}{5 (5 - 10 i) + 10 i (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{95 + 35 i}{5 \cdot 5 + 5 (- 10 i) + 10 i (5 - 10 i)}$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{95 + 35 i}{5 \cdot 5 + 5 (- 10 i) + 10 i \cdot 5 + 10 i (- 10 i)}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica

$5$ per

$5$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 + 5 (- 10 i) + 10 i \cdot 5 + 10 i (- 10 i)}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica

$- 10$ per

$5$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 10 i \cdot 5 + 10 i (- 10 i)}$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica

$5$ per

$10$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 50 i + 10 i (- 10 i)}$

Passaggio 2.3.2.4

Moltiplica

$- 10$ per

$10$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 50 i - 100 i i}$

Passaggio 2.3.2.5

Eleva

$i$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 50 i - 100 (i^{1} i)}$

Passaggio 2.3.2.6

Eleva

$i$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 50 i - 100 (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 2.3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 50 i - 100 i^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.2.8

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 50 i + 50 i - 100 i^{2}}$

Passaggio 2.3.2.9

Somma

$- 50 i$ e

$50 i$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 + 0 - 100 i^{2}}$

Passaggio 2.3.2.10

Somma

$25$ e

$0$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 100 i^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi

$i^{2}$ come

$- 1$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 - 100 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica

$- 100$ per

$- 1$ .

$\frac{95 + 35 i}{25 + 100}$

Passaggio 2.3.4

Somma

$25$ e

$100$ .

$\frac{95 + 35 i}{125}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di

$95 + 35 i$ e

$125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi

$5$ da

$95$ .

$\frac{5 (19) + 35 i}{125}$

Passaggio 3.2

Scomponi

$5$ da

$35 i$ .

$\frac{5 (19) + 5 (7 i)}{125}$

Passaggio 3.3

Scomponi

$5$ da

$5 (19) + 5 (7 i)$ .

$\frac{5 (19 + 7 i)}{125}$

Passaggio 3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi

$5$ da

$125$ .

$\frac{5 (19 + 7 i)}{5 \cdot 25}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (19 + 7 i)}{5 \cdot 25}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{19 + 7 i}{25}$

Passaggio 4

Dividi la frazione

$\frac{19 + 7 i}{25}$ in due frazioni.

$\frac{19}{25} + \frac{7 i}{25}$