Matematica di base Esempi

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{t^{2} + 3 t + 2}$

Passaggio 1

Scomponi $t^{2} + 3 t + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ .

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ .

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(t^{2} - t - 6) (t + 1) (t + 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ per $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ per $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Espandi $(t + 1) (t + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(t - 10) (t (t + 2) + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $2 t$ e $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.3

Espandi $(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{t \cdot t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{1} t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{1 + 2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{t^{3} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t^{3} + 3 t \cdot t + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.3

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Sposta $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 (t \cdot t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.3.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.4

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.5

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.4.6

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.5

Sottrai $10 t^{2}$ da $3 t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} + 2 t - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.6

Sottrai $30 t$ da $2 t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 1 \cdot 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.9

Espandi $(- t - 5) (t^{2} - t - 6)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t \cdot t^{2} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t^{1}) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{2 + 1} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t \cdot t - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.3

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.3.1

Sposta $t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 (t \cdot t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.3.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.5

Moltiplica $t^{2}$ per $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.6

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.7

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.10.8

Moltiplica $- 5$ per $- 6$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.11

Sottrai $5 t^{2}$ da $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 6 t + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.12

Somma $6 t$ e $5 t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.13

Sottrai $t^{3}$ da $t^{3}$ .

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 + 0 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.14

Somma $- 7 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.15

Sottrai $4 t^{2}$ da $- 7 t^{2}$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 28 t - 20 + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.16

Somma $- 28 t$ e $11 t$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t - 20 + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.17

Somma $- 20$ e $30$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18

Riscrivi $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.18.1

Scomponi $- 1$ da $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.18.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 11 t^{2}$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 17 t$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.1.3

Riscrivi $10$ come $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (11 t^{2}) - (17 t)$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.18.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.18.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 11 \cdot - 10 = - 110$ e la cui somma è $b = 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.18.2.1.1.1

Scomponi $17$ da $17 t$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 (t) - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2.1.1.2

Riscrivi $17$ come $- 5$ più $22$ .

$\frac{- (11 t^{2} + (- 5 + 22) t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (11 t^{2} - 5 t + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.18.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{- ((11 t^{2} - 5 t) + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{- (t (11 t - 5) + 2 (11 t - 5))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $11 t - 5$ .

$\frac{- ((11 t - 5) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.18.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Passaggio 6.19

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.19.1

Scomponi $t^{2} - t - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.19.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 6.19.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) ((t - 3) (t + 2))}$

Passaggio 6.19.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t - 3) (t + 2)}$

Passaggio 6.20

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.20.1

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} (t + 2)) (t - 3)}$

Passaggio 6.20.2

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1}) (t - 3)}$

Passaggio 6.20.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{1 + 1} (t - 3)}$

Passaggio 6.20.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

Passaggio 6.21

Riduci l'espressione $\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.21.1

Scomponi $t + 2$ da $- (11 t - 5) (t + 2)$ .

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

Passaggio 6.21.2

Scomponi $t + 2$ da $(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)$ .

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

Passaggio 6.21.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

Passaggio 6.21.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (11 t - 5)}{((t + 1) (t + 2)) (t - 3)}$