Matematica di base Esempi

$y^{3} - 14 y + 15$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Passaggio 3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} - 14 \cdot 3 + 15$

Passaggio 3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 14 \cdot 3 + 15$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 14$ per $3$ .

$27 - 42 + 15$

Passaggio 3.4

Sottrai $42$ da $27$ .

$- 15 + 15$

Passaggio 3.5

Somma $- 15$ e $15$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $y - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{y^{3} - 14 y + 15}{y - 3}$

Passaggio 5

Dividi $y^{3} - 14 y + 15$ per $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$14 y$

$15$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{3} - 3 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 y^{2} - 9 y$

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$
							-	$5 y$	+	$15$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 y + 15$

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$
							+	$5 y$	-	$15$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$
							+	$5 y$	-	$15$
										$0$

Passaggio 5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$y^{2} + 3 y - 5$

Passaggio 6

Scrivi $y^{3} - 14 y + 15$ come insieme di fattori.

$(y - 3) (y^{2} + 3 y - 5)$