Matematica di base Esempi

$10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$

Passaggio 1

Scomponi $5$ da $10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $5$ da $10 p^{3}$ .

$5 (2 p^{3}) - 25 p^{2} + 20$

Passaggio 1.2

Scomponi $5$ da $- 25 p^{2}$ .

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 20$

Passaggio 1.3

Scomponi $5$ da $20$ .

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 5 (4)$

Passaggio 1.4

Scomponi $5$ da $5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2})$ .

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$

Passaggio 1.5

Scomponi $5$ da $5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$ .

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2} + 4)$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Passaggio 2.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 + 4$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$16 - 20 + 4$

Passaggio 2.1.3.6

Sottrai $20$ da $16$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 2.1.3.7

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $p - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 p^{3} - 5 p^{2} + 4}{p - 2}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ per $p - 2$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$p$

$2$

$2 p^{3}$

$5 p^{2}$

$0 p$

$4$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 p^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $p$ .

					$2 p^{2}$
	$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			+	$2 p^{3}$	-	$4 p^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 p^{3} - 4 p^{2}$

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- p^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					-	$p^{2}$	+	$2 p$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- p^{2} + 2 p$

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 p$ per il termine di ordine più alto nel divisore $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							-	$2 p$	+	$4$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 p + 4$

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 p^{2} - p - 2$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ come insieme di fattori.

$5 ((p - 2) (2 p^{2} - p - 2))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$5 (p - 2) (2 p^{2} - p - 2)$