Matematica di base Esempi

$a^{3} - 3 a^{2} + 4$

Passaggio 1

Scomponi $a^{3} - 3 a^{2} + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 1.3.6

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $a + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 4}{a + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $a^{3} - 3 a^{2} + 4$ per $a + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$a$

$1$

$a^{3}$

$3 a^{2}$

$0 a$

$4$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $a^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $a$ .

					$a^{2}$
	$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			+	$a^{3}$	+	$a^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $a^{3} + a^{2}$

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 a^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $a$ .

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					-	$4 a^{2}$	-	$4 a$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 a^{2} - 4 a$

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 a$ per il termine di ordine più alto nel divisore $a$ .

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$
							+	$4 a$	+	$4$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 a + 4$

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$
							-	$4 a$	-	$4$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$
							-	$4 a$	-	$4$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$a^{2} - 4 a + 4$

Passaggio 1.6

Scrivi $a^{3} - 3 a^{2} + 4$ come insieme di fattori.

$(a + 1) (a^{2} - 4 a + 4)$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(a + 1) (a^{2} - 4 a + 2^{2})$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$(a + 1) (a^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2})$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = a$ e $b = 2$ .

$(a + 1) {(a - 2)}^{2}$