Matematica di base Esempi

$(1 - y) ((2 - y) (- 3 - y)) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1

Semplifica $(1 - y) (2 - y) (- 3 - y) - 24 + 12 y$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Espandi $(1 - y) (2 - y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (2 - y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$(2 - y - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(2 - y - 2 y - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(2 - y - 2 y + 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.1.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$(2 - y - 2 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $2 y$ da $- y$ .

$(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.3

Espandi $(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 \cdot - 3 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 6 - 2 y - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y \cdot y + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.4.5.1

Sposta $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 (y \cdot y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.7

Sposta $- 3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{2} y - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.9

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.4.9.1

Sposta $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y \cdot y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.9.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

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Passaggio 1.1.4.9.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y^{1} y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{1 + 2} - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.4.9.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.5

Combina i termini opposti in $- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3}$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Sottrai $3 y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 0 - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- 6 - 2 y + 9 y$ e $0$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.1.6

Somma $- 2 y$ e $9 y$ .

$- 6 + 7 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $24$ da $- 6$ .

$7 y - y^{3} - 30 + 12 y = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $7 y$ e $12 y$ .

$19 y - y^{3} - 30 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $- 1$ da $19 y - y^{3} - 30$ .

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Passaggio 2.1.1

Riordina $19 y$ e $- y^{3}$ .

$- y^{3} + 19 y - 30 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{3}$ .

$- (y^{3}) + 19 y - 30 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $- 1$ da $19 y$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 30 = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $- 30$ come $- 1 (30)$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3}) - (- 19 y)$ .

$- (y^{3} - 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3} - 19 y) - 1 (30)$ .

$- (y^{3} - 19 y + 30) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $y^{3} - 19 y + 30$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 19 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 19 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 19$ per $2$ .

$8 - 38 + 30$

Passaggio 2.2.3.4

Sottrai $38$ da $8$ .

$- 30 + 30$

Passaggio 2.2.3.5

Somma $- 30$ e $30$ .

$0$

Passaggio 2.2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $y - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{y^{3} - 19 y + 30}{y - 2}$

Passaggio 2.2.5

Dividi $y^{3} - 19 y + 30$ per $y - 2$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$19 y$

$30$

Passaggio 2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$

Passaggio 2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Passaggio 2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{3} - 2 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Passaggio 2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Passaggio 2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Passaggio 2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Passaggio 2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Passaggio 2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 y^{2} - 4 y$

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Passaggio 2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$

Passaggio 2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Passaggio 2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Passaggio 2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							-	$15 y$	+	$30$

Passaggio 2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 y + 30$

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$

Passaggio 2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$
										$0$

Passaggio 2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$y^{2} + 2 y - 15$

Passaggio 2.2.6

Scrivi $y^{3} - 19 y + 30$ come insieme di fattori.

$- ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 15)) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $y^{2} + 2 y - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $y^{2} + 2 y - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 2.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((y - 2) ((y - 3) (y + 5))) = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- ((y - 2) (y - 3) (y + 5)) = 0$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Passaggio 4

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

Passaggio 5

Imposta $y - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $y - 3$ uguale a $0$ .

$y - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3$

Passaggio 6

Imposta $y + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $y + 5$ uguale a $0$ .

$y + 5 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 5$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$ vera.

$y = 2, 3, - 5$