Matematica di base Esempi

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Passaggio 1

Utilizza la formula di addizione del seno per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Passaggio 2.1.1.2

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Passaggio 2.1.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Passaggio 2.1.1.4

Moltiplica $0$ per $\sin (θ)$ .

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Passaggio 2.1.2

Somma $\cos (θ)$ e $0$ .

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Passaggio 4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Passaggio 5

Moltiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Passaggio 5.1

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Passaggio 5.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Passaggio 5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Passaggio 6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $- \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Passaggio 7.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Passaggio 8

Somma $\sin (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 9

Sostituisci $\cos^{2} (θ)$ con $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 10

Risolvi per $θ$ .

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Passaggio 10.1

Sostituisci $\sin (θ)$ per $u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Passaggio 10.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 10.3

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 10.4

Semplifica.

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Passaggio 10.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 10.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 10.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 10.4.1.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 10.4.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Passaggio 10.4.3

Semplifica $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 10.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 10.6

Sostituisci $u$ per $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 10.7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 10.8

Risolvi per $θ$ in $\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Passaggio 10.8.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 10.9

Risolvi per $θ$ in $\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Passaggio 10.9.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Passaggio 10.9.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.9.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Passaggio 10.9.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Passaggio 10.9.4

Risolvi per $θ$ .

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Passaggio 10.9.4.1

Rimuovi le parentesi.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Passaggio 10.9.4.2

Rimuovi le parentesi.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Passaggio 10.9.4.3

Somma $3.14159265$ e $0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Passaggio 10.9.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 10.9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.9.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.9.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 10.9.6.1

Somma $2 π$ a $- 0.66623943$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.66623943 + 2 π$

Passaggio 10.9.6.2

Sottrai $0.66623943$ da $2 π$ .

$5.61694587$

Passaggio 10.9.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 5.61694587$

Passaggio 10.9.7

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.10

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$