Algebra Esempi

${(a + b)}^{10}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

$1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1$

$1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(a + b)}^{10}$ , $n = 10$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $11$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$ .

$1 a^{10} b^{0} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + 1 a^{0} b^{10}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $a$ e $b$ $b$ nell'espressione.

$1 {(a)}^{10} {(b)}^{0} + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(a)}^{10}$ per $1$ .

${(a)}^{10} {(b)}^{0} + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a^{10} \cdot 1 + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $a^{10}$ per $1$ .

$a^{10} + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4.6

Moltiplica ${(a)}^{0}$ per $1$ .

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Passaggio 4.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + 1 {(b)}^{10}$

Passaggio 4.8

Moltiplica ${(b)}^{10}$ per $1$ .

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + b^{10}$