Algebra Esempi

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

$a$ è la distanza tra il vertice $(5, 2)$ e il punto di centro $(1, 2)$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Passaggio 2.3.5

Somma $16$ e $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = 4$

Passaggio 3

$c$ è la distanza tra il fuoco $(4, 2)$ e il centro $(1, 2)$ .

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Passaggio 3.1

Utilizza la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Passaggio 3.3.5

Somma $9$ e $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c = 3$

Passaggio 4

Utilizzare l'equazione $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci $a$ con $4$ e $c$ con $3$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- b^{2} = 9 - 16$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $16$ da $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Passaggio 4.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 7$ e semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 7$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi $b^{2}$ per $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.5.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Passaggio 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Passaggio 4.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = \sqrt{7}$

Passaggio 4.7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - \sqrt{7}$

Passaggio 4.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = \sqrt{7}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco $(4, 2)$ e il centro $(1, 2)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è $0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

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Passaggio 6.1

La pendenza è uguale alla variazione in $y$ sulla variazione in $x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in $x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in $y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci con i valori di $x$ e $y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 6.4.3

Dividi $0$ per $- 3$ .

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ e $b = \sqrt{7}$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

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Passaggio 8.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Passaggio 8.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Passaggio 9