Algebra Esempi

{(a + b)}^{6}

${(a + b)}^{6}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

1

$1$

1 - 1

$1 - 1$

1 - 2 - 1

$1 - 2 - 1$

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$

1 - 4 - 6 - 4 - 1

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di

{(a + b)}^{n}

${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente

n

$n$ e sommando

1

$1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea

n + 1

$n + 1$ del triangolo. Per

{(a + b)}^{6}

${(a + b)}^{6}$ ,

n = 6

$n = 6$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea

7

$7$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola

{(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}

${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono

1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di

a

$a$

a

$a$ e

b

$b$

b

$b$ nell'espressione.

1 {(a)}^{6} {(b)}^{0} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}

$1 {(a)}^{6} {(b)}^{0} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

{(a)}^{6}

${(a)}^{6}$ per

1

$1$ .

{(a)}^{6} {(b)}^{0} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}

${(a)}^{6} {(b)}^{0} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

a^{6} \cdot 1 + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}

$a^{6} \cdot 1 + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4.3

Moltiplica

a^{6}

$a^{6}$ per

1

$1$ .

a^{6} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}

$a^{6} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

a^{6} + 6 a^{5} b + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4.6

Moltiplica

{(a)}^{0}

${(a)}^{0}$ per

1

$1$ .

a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + {(a)}^{0} {(b)}^{6}

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Passaggio 4.7

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 {(b)}^{6}

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 {(b)}^{6}$

Passaggio 4.8

Moltiplica

{(b)}^{6}

${(b)}^{6}$ per

1

$1$ .

a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$

a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$