Algebra Esempi

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = 1$ e $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Moltiplica ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ per $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ per $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.2

Combina.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 12.2

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $3$ da $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.6

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.7

$- 3$ e $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Moltiplica $- 3$ per $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.9.2

Sottrai $81$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Passaggio 14.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Passaggio 15

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{80}{27}$ nel numeratore.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Passaggio 16.2

Scomponi $2$ da $- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Passaggio 16.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 16.4

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 16.5

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{- 40}{27}$ per $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Passaggio 18

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Passaggio 19

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{4} = \frac{40}{27}$