Algebra Esempi

{(v + w)}^{3}

${(v + w)}^{3}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

1

$1$

1 - 1

$1 - 1$

1 - 2 - 1

$1 - 2 - 1$

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di

{(a + b)}^{n}

${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente

n

$n$ e sommando

1

$1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea

n + 1

$n + 1$ del triangolo. Per

{(v + w)}^{3}

${(v + w)}^{3}$ ,

n = 3

$n = 3$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea

4

$4$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola

{(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}

${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$ .

1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di

a

$a$

v

$v$ e

b

$b$

w

$w$ nell'espressione.

1 {(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$1 {(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

{(v)}^{3}

${(v)}^{3}$ per

1

$1$ .

{(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

${(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

v^{3} \cdot 1 + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} \cdot 1 + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4.3

Moltiplica

v^{3}

$v^{3}$ per

1

$1$ .

v^{3} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4.6

Moltiplica

{(v)}^{0}

${(v)}^{0}$ per

1

$1$ .

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Passaggio 4.7

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + 1 {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + 1 {(w)}^{3}$

Passaggio 4.8

Moltiplica

{(w)}^{3}

${(w)}^{3}$ per

1

$1$ .

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}$

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}$