Algebra Esempi

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$

Passaggio 1

Scrivi

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ come un'equazione.

y = 2 x^{2} - 8

$y = 2 x^{2} - 8$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

x = 2 y^{2} - 8

$x = 2 y^{2} - 8$

Passaggio 3

Risolvi per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come

2 y^{2} - 8 = x

$2 y^{2} - 8 = x$ .

2 y^{2} - 8 = x

$2 y^{2} - 8 = x$

Passaggio 3.2

Somma

8

$8$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$

Passaggio 3.3

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$ .

\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi

$y^{2}$ per

$1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi

$8$ per

$2$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + 4$

Passaggio 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$

Passaggio 3.5

Semplifica

$\pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere

$4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.5.2

$4$ e

$\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 4 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica

$4$ per

$2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 8}{2}}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi

$\sqrt{\frac{x + 8}{2}}$ come

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Moltiplica

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.7.2

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.7.3

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.5.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.7.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7.6

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.7.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.5.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.5.9

Riordina i fattori in

$\pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Passaggio 3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Passaggio 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Passaggio 5

Verifica se

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ è l'inverso di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ e

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori

$y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 8, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di

$\frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in

$\sqrt{2 (x + 8)}$ in modo che sia maggiore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (x + 8) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 (x + 8) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 (x + 8) \geq 0$ .

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi

$x + 8$ per

$1$ .

$x + 8 \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi

$0$ per

$2$ .

$x + 8 \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai

$8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 8$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 8, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ è l'intervallo di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ e l'intervallo di

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ è il dominio di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ , allora

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ è l'inverso di

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Passaggio 6