Algebra Esempi

$(3, \frac{1}{64})$

Passaggio 1

Per trovare una funzione esponenziale, $f (x) = a^{x}$ , contenente il punto, imposta $f (x)$ nella funzione sul valore $y$ $\frac{1}{64}$ del punto e imposta $x$ sul valore $x$ $3$ del punto.

$\frac{1}{64} = a^{3}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $a^{3} = \frac{1}{64}$ .

$a^{3} = \frac{1}{64}$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{1}{64}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{64}$ come ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Passaggio 2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = a$ e $b = \frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

$a$ e $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Passaggio 2.3.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Passaggio 2.3.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Passaggio 2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $a - \frac{1}{4}$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $a - \frac{1}{4}$ uguale a $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Imposta $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ uguale a $0$ .

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $16$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Passaggio 2.6.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Passaggio 2.6.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Passaggio 2.6.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Passaggio 2.6.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Passaggio 2.6.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

Passaggio 2.6.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.6.2.3

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.6.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.6.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.6.2.6.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.6.2.6.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.6.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.6.6

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.6.2.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.6.2.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.6.2.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ vera.

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.8

Rimuovi tutti i valori che contengono componenti immaginari.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Non ci sono componenti immaginari. Aggiungi $\frac{1}{4}$ alla risposta finale.

$\frac{1}{4}$ è un numero reale

Passaggio 2.8.2

La lettera $i$ rappresenta un componente immaginario e non è un numero reale. Non aggiungere $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ alla risposta finale.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ non è un numero reale

Passaggio 2.8.3

La lettera $i$ rappresenta un componente immaginario e non è un numero reale. Non aggiungere $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ alla risposta finale.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ non è un numero reale

Passaggio 2.8.4

La risposta finale è l'elenco di valori che non contengono componenti immaginari.

$a = \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Sostituisci nuovamente ogni valore per $a$ nella funzione $f (x) = a^{x}$ per trovare ogni funzione esponenziale possibile.

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$