Algebra Esempi

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

Passaggio 1

$i$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $b = - \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Trova $| z |$ .

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Passaggio 5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.7.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 5.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Passaggio 5.8.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Passaggio 5.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.9.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Passaggio 5.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Passaggio 5.9.3

Somma $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Passaggio 5.9.4

Dividi $4$ per $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Passaggio 5.9.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| z | = 1$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

Passaggio 7

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{7 π}{6}$ e $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})$